Princípio da inclusão-exclusão

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O Princípio da Inclusão-Exclusão (PIE) é uma generalização de um dos princípios básico de contagem, o princípio aditivo. Este princípio está interessado na obtenção de uma fórmula para contar o número de elementos que pertencem a união de vários conjuntos não necessariamente excludentes ou disjuntos.

O princípio funciona basicamente somando-se e subtraindo-se correções à uma estimativa até que se chegue no valor desejado.

Na sua forma mais simples calcula a cardinalidade da união de dois conjuntos A e B, no qual a intersecção entre A e B dá-se um conjunto vazio.

Para dois conjuntos[editar | editar código-fonte]

Diagrama de Venn, com os conjuntos A, B e sua intersecção

Ao somar as cardinalidades de e temos um número maior que a cardinalidade da união, já que estamos somando a intersecção duas vezes, sendo assim necessário subtrai-la para termos o resultado correto.

Para três conjuntos[editar | editar código-fonte]

Diagrama de Venn com os conjuntos A, B, C e suas intersecções

Quando temos três conjuntos a cardinalidade da união deles não é expressa pela soma das cardinalidades dos três, já que isso incluiria suas intersecções duplas duas vezes, etretanto subtrair a cardinalidades das intersecções duplas não é o bastante pois isso a intersecção dos três conjuntos, sendo então necessário somá-lo ao final.

Para múltiplos conjuntos[editar | editar código-fonte]

Esse resultado por ser generalizado para a união de n conjuntos:

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Demonstração do caso geral[editar | editar código-fonte]

A prova pode ser consultada em portugês no seguinte pdf:

https://drive.google.com/file/d/1-FSg2Fuvc2qVAeX-iATel0Tg2lO8c8Uv/view?usp=sharing