Princípio da resolução

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O princípio da resolução é uma regra de inferência que dá origem a uma técnica de demonstração por refutação para sentenças e inferências da lógica proposicional e da lógica de primeira ordem.

A resolução na lógica proposicional[editar | editar código-fonte]

Regra de resolução[editar | editar código-fonte]

O sistema dedutivo de resolução na lógica proposicional não possui axiomas, mas apenas uma regra de inferência que produz, a partir de duas cláusulas, uma nova cláusula implicada por elas. A regra de resolução toma duas cláusulas contendo literais complementares e produz uma nova cláusula com todos os literais de ambos, excluídos estes complementares. Formalmente, onde e são literais complementares:

A cláusula produzida pela regra de resolução é chamada de resolvente das duas cláusulas iniciais.

Quando as duas cláusulas contêm mais de um par de literais complementares, a regra de resolução pode ser aplicada (independentemente) para cada par. Entretanto, apenas o par de literais resolvidos pode ser removido: todos os outros pares de literais permanecem na cláusula resolvente.

Uma técnica de resolução[editar | editar código-fonte]

Quando usada em conjunto com um algoritmo de busca, a regra de resolução ganha poder e utiliza o algoritmo de busca para decidir a satisfatibilidade de uma fórmula proposicional e a validade da sentença sob um conjunto de axiomas.

Esta técnica de resolução usa prova por contradição e é baseada no fato de que qualquer sentença da lógica proposicional pode ser convertida para uma sentença equivalente na forma normal conjuntiva. Os passos são os seguintes:

  • Todas as premissas e a negação da sentença a ser provada (conjectura) tem que estar conectadas por conjunções.
  • A sentença resultante é convertida para a forma normal conjuntiva (tratada como um conjunto de cláusulas, S).
  • A regra de resolução é aplicada a todos os possíveis pares de cláusulas que contém literais complementares. Após cada aplicação da regra de resolução, a cláusula resultante é simplificada removendo-se os literais repetidos. Se a cláusula contém literais complementares, ela é descartada (como uma tautologia). Caso contrário, e se ela ainda não está presente no conjunto de cláusulas S, então ela é adicionada a S, e é considerada para posteriores inferências da resolução.
  • Se depois de aplicar a regra de resolução uma cláusula vazia é derivada, a formula inteira não é satisfeita (ou contraditória), então é possível concluir que a conjectura inicial provém das premissas originais.
  • Se, por outro lado, a cláusula vazia não pode ser derivada, e a regra de resolução não pode ser aplicada para derivar mais cláusulas, a conjectura não é um teorema da base de conhecimentos original.

Outra instância deste algoritmo é o algoritmo de Davis-Putnam original, que foi mais tarde refinado para o algoritmo DPLL, que removeu a necessidade de uma representação explícita dos resolventes.

Como exemplo do algoritmo acima, considere a seguinte fórmula:


Que pode ser vista como um conjunto de cláusulas:


Seja um conjunto de cláusulas e representamos por a cláusula vazia, . Aplica-se então a regra de inferência:

Aplicando a regra no conjunto de cláusulas do exemplo acima:

Foi possível então a dedução da cláusula vazia a partir do conjunto inicial de cláusulas.

A resolução na lógica de primeira ordem[editar | editar código-fonte]

A resolução na Lógica de primeira ordem condensa os silogismos tradicionais de inferência lógica em uma única regra. Para entender como a resolução funciona, considere o seguinte exemplo de silogismo da lógica aristotélica:

Todos os gregos são europeus.
Homero é grego.
Então, Homero é europeu.

Ou de maneira mais geral:

X.(P(X) implica Q(X)).
P(a).
Então, Q(a).

Para traçar o raciocínio usado na técnica de resolução, primeiro as cláusulas devem ser convertidas para a forma normal conjuntiva. Nessa forma, todas as quantificações se tornam implícitas: quantificadores universais em variáveis (X, Y...) são simplesmente omitidos quando subentendidos, enquanto variáveis em quantificadores existenciais são substituídas por funções de Skolem.

P(X)  Q(X)
P(a) 
Então, Q(a)

Então a questão é, como a técnica de resolução deriva a última cláusula a partir das duas primeiras? A regra é simples:

  • Encontre duas cláusulas contendo o mesmo predicado, onde uma cláusula é negada e a outra não.
  • Faça a unificação em ambos os predicados. (Se a unificação falhar, então você fez uma má escolha de predicados. Volte para o passo anterior e tente novamente.)
  • Se, após a unificação, alguma variável não-ligada que foi ligada nos predicados unificados também ocorre em outros predicados nas duas cláusulas, então substitua pelos seus respectivos termos ligados.
  • Descarte os predicados unificados, e combine o restante das duas cláusulas em uma nova cláusula.

Para aplicar essa regra no exemplo acima, nós encontramos o predicado ‘P’ na forma negada na primeira cláusula:

P(X)

E em forma não negada na segunda cláusula:

P(a)

X é uma variável livre, enquanto a é um átomo. Unificando os dois obtemos a substituição:

 = [(a,X)]

Descartando os predicados unificados, e aplicando a substituição dos predicados restantes (apenas Q(X), nesse caso), obtemos a conclusão:

Q(a)

Para um outro exemplo, considere a forma silogística:

Todos os políticos são corruptos.
Todos os corruptos são mentirosos.
Então todos os políticos são mentirosos.

Ou de maneira mais geral:

X P(X) implica Q(X)
X Q(X) implica R(X)
Então, X P(X) implica R(X)

Na FNC (Forma Normal Conjuntiva):

P(X)  Q(X)
Q(Y)  R(Y)

(Note que a variável na segunda cláusula foi renomeada para deixar claro que variáveis em cláusulas diferentes são distintas)

Agora, unificando Q(X) na primeira cláusula com Q(Y) na segunda cláusula temos que X e Y se tornam a mesma variável. Efetuando esta substituição nas cláusulas restantes e combinando-as, temos a conclusão:

P(X)  R(X)

Mais exemplos[editar | editar código-fonte]

Lógica Proposicional[editar | editar código-fonte]

Exemplo 1[editar | editar código-fonte]

Socrátes e Platão

  • Sócrates está em tal situação que ele estaria disposto a visitar Platão (S), só se Platão estivesse disposto a visitá-lo (P);

  • Platão está em tal situação que ele não estaria disposto a visitar Sócrates, se Sócrates estivesse disposto a visitá-lo;

  • Platão está em tal situação que ele estaria disposto a visitar Sócrates, se Sócrates não estivesse disposto a visitá-lo.

  • Pergunta-se:

Sócrates está disposto a visitar Platão ou não?

Transformação de para a forma conjuntiva:




Temos então o seguinte conjunto de cláusulas:


Resolução:




Portanto concluímos que Sócrates está disposto a visitar Platão.

Exemplo 2[editar | editar código-fonte]

Ana

  • Se Anelise não for cantora (P) ou Anamélia for pianista(Q), então Anaís será professora (R).

  • Se Ana for atleta (S), então Anamélia será pianista (Q).

  • Se Anelise for cantora (P), então Ana será atleta (S).

  • Anamélia não será pianista (Q).

É possível concluir que Anaís é professora (R)?

Transformação do conjunto de premissas para a forma conjuntiva:








Temos então o seguinte conjunto de cláusulas:


Resolução:





Concluimos, portanto, que Anaís é Professora.

Lógica de Primeira Ordem[editar | editar código-fonte]

Exemplo 1[editar | editar código-fonte]

Toda pessoa é sábia ou tucana. Zé não é tucano. Zé é sábio?

U = pessoas
I[q(x)] = T sse x é sábio
I[p(x)] = T sse x é tucana
I[a] = Zé

O que quero provar?? Toda pessoa é sábia ou tucana. Zé não é tucano. Zé é sábio?


Por refutação:

Eliminamos o quantificador universal:


Como é possível notar, a sentença já se encontra na forma normal clausal.

conjuntiva após passar pelo processo de conversão, skolemização e reorganização típicos da lógica de primeira ordem.

Temos então o conjunto de cláusulas:


Agora aplicamos a resolução:

 
com 1=[(x,a)]

com 2=[(x,a)]

Chegamos então a uma cláusula vazia. Portanto, concluímos que se Zé não é Tucano então Zé é sábio.

Exemplo 2[editar | editar código-fonte]

Agora um exemplo mais direto e detalhado:

Seja a fórmula:


Vamos mostrar que existe uma refutação da negação desta fórmula:

Passo 1: Negar a fórmula


Passo 2: Forma normal prenex


Passo 3: Fechar existencialmente da Fórmula


Passo 4: Skolemizar


Passo 5: Eliminação de quantificadores universais


Passo 6: Forma normal conjuntiva





Passo 7: Notação Clausal


Passo 8: Resolução

 com 0 = [(a, y)]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • J. Alan Robinson (1965), A machine-oriented logic based on the resolution principle. Journal of the ACM, Volume 12, Issue 1, pp. 23–41.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]