Princípio de Phragmén–Lindelöf

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Saltar para a navegação Saltar para a pesquisa
Ambox important.svg
Foram assinalados vários aspectos a serem melhorados nesta página ou se(c)ção:

Em matemática, o princípio de Phragmén–Lindelöf é uma extensão de 1908 por Lars Edvard Phragmén (1863-1937) e Ernst Leonard Lindelöf do princípio do módulo máximo da análise complexa, para ilimitados domínios.

Cenário[editar | editar código-fonte]

Na teoria da função complexa, sabe-se que se uma função f é holomorfa em um domínio limitado D, e é contínua em uma fronteira de D, então o máximo de |f|, devem ser atingidos no limite de D. Se, no entanto, a região D não for limitada, então isso não pode ser verdadeiro, como podemos ver ao analisar a função na fita A dificuldade aqui é que a função g tende para o infinito 'muito' rapidamente como z tende para o infinito ao longo do eixo real positivo.

O Princípio de Phragmén–Lindelöf mostra que, em determinadas circunstâncias, e limitando a rapidez com a qual f é permitido que tendem para o infinito, é possível provar que f é, na verdade, limitada no domínio ilimitado.

Na literatura de análise complexa, existem muitos exemplos do princípio de Phragmén–Lindelöf aplicado para regiões acopladas de diferentes tipos, e também uma versão deste princípio pode ser aplicada em uma forma similar as funções subharmônica e superharmônica.

Princípio de Phragmén–Lindelöf para um setor no plano complexo[editar | editar código-fonte]

Seja F(z) uma função holomorfa em um setor,

com ângulo π/λ = βα, e a contínua no seu limite.

Se para o z sobre a fronteira de S, e  para todo z em S, onde 0 ≤ ρ < λ e C > 0, então (1) também vale para todos os z em S.

Comentários[editar | editar código-fonte]

  • A condição (2) pode torna-se mais flexível a , com a mesma conclusão.


Princípio de Phragmén–Lindelöf para tiras[editar | editar código-fonte]

Na prática, o ponto 0 é muitas vezes transformado no ponto ∞ da Esfera de Riemann. Isso dá uma versão do princípio de que aplica-se a tiras, por exemplo, delimitada por duas linhas de constantes parte real do complexo plano. Este caso especial é às vezes conhecido como Teorema de Lindelöf.

Outros casos especiais[editar | editar código-fonte]

  • Teorema de Carlson é uma aplicação do princípio das funções limitadas no eixo imaginário.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

O princípio é usado para provar o Princípio da incerteza de Heisenberg, que estabelece que uma função e a sua transformada de Fourier, não podem deteriorar  mais rápido que exponencialmente.

Referências[editar | editar código-fonte]