Problema de Dirichlet

Em matemática, um problema de Dirichlet consiste em encontrar uma função que satisfaça uma equação diferencial parcial (EDP) dada no interior de uma região dada e que toma valores prescritos na fronteira (contorno) desta.

Originalmente, o problema foi proposto para a equação de Laplace. Nesse caso ele pode ser apresentado da seguinte forma: dada uma função $f$ definida no contorno de um dado conjunto em Rⁿ, existe uma única função contínua u diferenciável continuamente duas vezes no interior e contínua no contorno, tal que $u$ é harmônica no interior e $u=f$ no contorno?

A exigência imposta sobre $u$ na fronteira do conjunto é chamada de condição de contorno de Dirichlet. A questão principal é provar a existência de uma solução. A unicidade pode ser demonstrada usando-se o princípio do máximo.

História

O problema de Dirichlet é nomeado em homenagem a Lejeune Dirichlet, que propôs uma solução para um método variacional que tornou-se conhecido como princípio de Dirichlet. A existência de uma única solução é muito plausível pelo 'argumento físico': qualquer distribuição de carga no contorno deveria, pelas leis da eletrostática, determinar um potencial elétrico como solução.

Entretanto, Weierstrass encontrou uma falha no argumento de Dirichlet, e uma rigorosa prova de existência foi encontrada somente em 1900 por Hilbert. Ocorre que a existência de uma solução depende delicadamente da suavidade do contorno e os dados prescritos.

Solução geral

Para um domínio $D$ tendo um contorno suficientemente suave $\partial D$, a solução geral para o problema de Dirichlet é dada por

$u(x)=\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}ds$

onde $G(x,y)$ é a função de Green para a equação diferencial parcial, e

${\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}={\widehat {n}}\cdot \nabla _{s}G(x,s)=\sum _{i}n_{i}{\frac {\partial G(x,s)}{\partial s_{i}}}$

é a derivada da função de Green ao longo do vetor unidade com orientação normal interno ${\widehat {n}}$. A integração é realizada sobre o contorno, com medida $ds$. A função $\nu (s)$ é dada pela solução única à equação integral de Fredholm do segundo tipo,

$f(x)=-{\frac {\nu (x)}{2}}+\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}ds.$

A função de Green a ser usada na integral acima é uma que desaparece no contorno:

$G(x,s)=0$

para $s\in \partial D$ e $x\in D$. Tal função de Green é usaulmente uma soma da função de Greem de campo livre e uma solução harmônica à equação diferencial.

Existência

O problema de Dirichlet para funções harmônicas sempre tem uma solução, e esta solução é única, quando o contorno é suficientemente suave e $f(s)$ é contínua. Mais precisamente, tem, solução quando

$\partial D\in C^{(1,\alpha )}$

para $0<\alpha$, onde $C^{(1,\alpha )}$ denota a condição de Hölder.

Exemplo: o disco unidade em duas dimensões

Em alguns casos simples o problema de Dirichlet pode ser resolvido explicitamente. Por exemplo, a solução para o problema de Dirichlet para o disco unidade em R² é dado pela fórmula integral de Poisson.

Se $f$ é uma função contínua no contorno $\partial D$ de um disco unidade aberto $D$, então a solução para o problema de Dirichlet é $u(z)$ dado por

$u(z)={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(e^{i\psi }){\frac {1-\vert z\vert ^{2}}{\vert z-e^{i\psi }\vert ^{2}}}d\psi &{\mbox{if }}z\in D\\f(z)&{\mbox{if }}z\in \partial D.\end{cases}}$

A solução $u$ é contínua no disco unidade fechado ${\bar {D}}$ e harmônica sobre $D.$

O integrando é conhecido como o núcleo de Poisson; esta solução segue-se da função de Green em duas dimensões:

$G(z,x)=-{\frac {1}{2\pi }}\log \vert z-x\vert +\gamma (z,x)$

onde $\gamma (z,x)$ é harmônica

$\Delta _{x}\gamma (z,x)=0$

e escolhida tal que $G(z,x)=0$ para $x\in \partial D$.

Generalizações

Problemas de Dirichlet são típicos de equações diferenciais parciais elípticas, e teoria potencial, e a equação de Laplace em particular. Outros exemplos incluem a equação biharmônica e equações relacionadas em teoria da elasticidade.

Eles são alguns dos diversos tipos de classes de problemas de EDP definidos pela informação dada no contorno, incluindo problemas de Neumann e problemas de Cauchy.

Referências

• A. Yanushauskas (2001), "Dirichlet problem", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• S. G. Krantz, The Dirichlet Problem. §7.3.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 93, 1999. ISBN 0-8176-4011-8.
• S. Axler, P. Gorkin, K. Voss, The Dirichlet problem on quadratic surfaces Mathematics of Computation 73 (2004), 637-651.
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Elliptic partial differential equations of second order, ISBN 978-3-540-41160-4 2nd ed. , Berlin, New York: Springer-Verlag 

Ver também

• Método Perron

Ligações externas

• Eric W. Weisstein; Dirichlet Problem - MathWorld
• Dirichlet Problem Module by John H. Mathews