Produto de Cauchy

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Em matemática, o produto de Cauchy (em homenagem a Augustin Louis Cauchy) de duas séries formais (isto é, não necessariamente convergentes) de números reais ou complexos. O produto de Cauchy de duas sequências , , é a convolução discreta das duas sequências, a sequência cujo termo geral é dado por

Em outras palavras, é a sequência cuja associada série de potência formal é o produto das duas séries semelhantemente associadas a e .

Séries[editar | editar código-fonte]

é definido mediante uma convolução discreta:

para n = 0, 1, 2, …

"Formal" significa que as séries são manipuladas sem prestar atenção a aspectos de convergência. Não é preciso que as séries sejam convergentes. Veja por exemplo, séries de potência formais.

É de esperar, que por analogia com as somas finitas, no caso em que as duas séries forem convergentes, a soma da série infinita

seja igual ao produto

da mesma maneira em que este seria correto quando cada uma das duas somas que multiplicam-se possui um número finito de termos.

Em casos suficientemente bem comportados, cumpre-se com a expressão anterior. Mas—e este é um ponto importante—o produto de Cauchy de duas séries existe ainda no caso que uma ou ambas das séries infinitas correspondentes não forem convergentes.


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