Produto de matrizes

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Em matemática, o produto de duas matrizes é definido somente quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Se A é uma matriz m-por-n e B é uma matriz n-por-p, então seu produto é uma matriz m-por-p definida como AB (ou por A · B). O produto é dado por

para cada par i e j com 1 ≤ im e 1 ≤ jp.

Calculando directamente a partir da definição[editar | editar código-fonte]

Matrix multiplication diagram.PNG

A figura à esquerda mostra como calcular o elemento (1,2) e o elemento (3,3) de AB se A é uma matriz 4×2, e B é uma matriz 2×3. Elementos de cada matriz são postos par a par na direcção das setas; cada par é multiplicado e os produtos são somados. A posição do número resultante em AB corresponde ao da seta e coluna que foi considerada.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Multiplicação de matrizes não é em geral comutativa, ou seja, ABBA(exceto em casos especiais). Eis um exemplo:
  • Embora multiplicação de matrizes não seja comutativa, os determinantes de AB e BA são sempre iguais (se A e B são matrizes quadradas de dimensões iguais). Veja o artigo sobre determinantes para esclarecimento.
  • O produto é associativo, ou seja:
  • O produto distribui sob a soma:
  • Propriedade de matrizes transpostas: .

Definições importantes de matrizes derivadas das propriedades da multiplicação[editar | editar código-fonte]

  • Uma matriz A é inversível se tiver uma inversa de tal maneira que sua multiplicação resulte na matriz identidade, ou seja,

Algoritmos para a multiplicar matrizes eficientemente[editar | editar código-fonte]

Problemas não resolvidos em ciência da computação
Qual é o algoritmo mais rápido para a multiplicação de matrizes?

O tempo de execução da multiplicação de matrizes quadradas, se efetuada de forma intuitiva, é . O tempo de execução para a multiplicação de matrizes retangulares (uma matriz m×p e outra p×n) é O(mnp), no entanto, existem algoritmos mais eficientes, tais como o algoritmo de Strassen, concebido por Volker Strassen em 1969, e chamado frequentemente de "multiplicação rápida de matrizes". Ele baseia-se em uma forma de multiplicar matrizes 2×2 que exige apenas 7 multiplicações (em vez das 8 usuais), em troca de fazer algumas oprerações de adição e subtração. A aplicação recursiva desse método produz um algoritmo cujo custo multiplicativo é . O algoritmo de Strassen é mais complexo se comparado com o algoritmo intuitivo, e ele carece de estabilidade numérica. Mesmo assim, está disponível em diversas bibliotecas, tais como BLAS, em que sua eficiência é significativamente maior para matrizes de dimensão n > 100,[1] e é muito útil para matrizes grandes sobre domínios exatos tais como corpos finitos, em que a estabilidade numérica não é um problema.

Notas e referências

  1. Press 2007, p. 108.

Referências[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]


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