Quadrilátero

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Um quadrilátero.

Em geometria plana euclidiana, quadrilátero é um polígono de quatro lados.[1] A soma de seus ângulos internos é igual a 360^\circ, bem como a soma de seus ângulos externos.[2]


As Definições de Quadriláteros ao Longo da História[editar | editar código-fonte]

Os Elementos de Euclides[editar | editar código-fonte]

Os Elementos de Euclides[3] foi um dos mais antigos tratados gregos existentes; a mais renomada obra na história da matemática. Segundo Proclus tal obra está relacionada com o resto da matemática, assim como as letras do alfabeto estão relacionadas com a linguagem (História da Matemática, p. 72)[carece de fontes?]. Euclides em sua obra, “Os Elementos”, livro I, Definições, admite as seguintes definições para as figuras quadriláteras:

  • rombóide é a que tem tanto os lados opostos quanto os ângulos opostos iguais entre si, a qual não é equilátera nem retangular (p. 98). Ser retangular para Euclides é ter cada um dos ângulos opostos reto (p. 132).
  • das áreas paralelogrâmicas ACDB­­­, tanto os lados quanto os ângulos opostos são iguais entre si (p. 124). “... digo que tanto os lados quanto os ângulos opostos do paralelogramo ACDB são iguais entre si...” (p.123) (figura 1)
  • Paralelogramo ABCD Figura 1
    paralelogramo retangular ou retângulo é dito ser contido pelas duas retas que contêm o ângulo reto (p. 135).
  • paralelogramo equilátero é tido por Euclides como uma figura quadrilátera que tem os quatro lados com a mesma medida (p. 132).
  • oblongo é retangular e não é equilátera (p. 98).
  • losango é equilátera e não é retangular (p. 98).
  • quadrado é aquela que é tanto equilátera quanto retangular (p. 98).
  • trapézios são as figuras quadriláteras além dessas (p. 98).

Em resumo Euclides define os quadriláteros da seguinte forma: (figura 2)

Quadriláteros Notáveis de Euclides. Figura 2

Elementos de Geometria de Legedre[4] [editar | editar código-fonte]

No século XVIII, momento da Revolução Francesa (1789) e período do apogeu das ideias iluministas podemos destacar Legendre como um matemático, que como resposta a sua inquietação com relação à necessidade de maior rigor matemático, revive em sua obra intitulada por “Élements de géométrie”, a qualidade intelectual de Euclides. Legendre nesta obra, especificamente no capítulo, Princípios, livro I, afirma que os polígonos de quatro lados são chamados de quadriláteros e entre os quadriláteros, os que mais se distingue são:

  • o paralelogramo ou rombo, que tem os lados paralelos (p.25).
  • o retângulo, que tem os ângulos retos e não tem os lados iguais (p. 25).
  • o losango, que tem os lados iguais, mas os ângulos não (necessariamente) retos (p. 25).
  • o quadrado, que tem os lados iguais e os ângulos retos (p. 25).
  • o trapézio, que só têm dois lados paralelos (p. 25).

Em resumo Legendre define os quadriláteros da seguinte forma: (figura 3)

Quadriláteros Notáveis de Legendre Figura 3

Geometría Elemental de Hemmerling[5] [editar | editar código-fonte]

Em seu livro: Geometría Elemental, primeira edição em 1971, Edwin M. Hemmerling, define os quadriláteros da seguinte maneira:

  • Quadriláteros: um polígono é um quadrilátero quando tem quatro lados (p. 205).
  • Trapézio: um quadrilátero é um trapézio se, e somente se ele tiver um, e apenas um par de lados paralelos. Os lados paralelos são as bases do trapézio. Os lados não paralelos são simplesmente lados (p. 207).
  • Trapézio isósceles: é aquele em que os lados não adjacentes são congruentes. Um par de ângulos que compartilham uma mesma base são chamados ângulos da base (p. 207).
  • Paralelogramo: um quadrilátero é um paralelogramo se, e somente se, os pares de lados opostos são paralelos. Qualquer lado pode ser considerado base (p. 208).
  • Rombo (na tradução de espanhol para português rombo = losango): é um paralelogramo equilátero (p. 208).
  • Retângulo: é um paralelogramo que tem um ângulo reto. Um retângulo é quadrado se, e somente se, tem os quatro lados congruentes. Portanto é um retângulo equilátero (p. 208).

Em resumo Hemmerling define os quadriláteros da seguinte forma: (figura 4)

Quadriláteros Notáveis de Hemmerling Figura 4

Geometria Euclidiana Plana de João Lucas Marques Barbosa[6] [editar | editar código-fonte]

O livro “Geometria Euclidiana Plana” de João Lucas Marques Barbosa é um dos mais vendidos da Sociedade Brasileira de Matemática a cada ano, desde 1985. É tido como o livro que aborda a geometria axiomática de forma mais acessível para um educando iniciante nos estudos da Geometria Plana Euclidiana. Atualmente é o livro adotado pela Universidade Federal de Pernambuco para a formação de professores de Matemática na cadeira de Geometria Plana. Dessa forma, foi escolhido para a análise das definições dos quadriláteros. As definições seguintes foram adotadas por João Lucas neste livro:

  • Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos (p. 91).
  • Um retângulo é um quadrilátero que tem todos os seus ângulos, retos (p. 98).
  • Um losango (também denominado rombo) é um paralelogramo que tem todos os seus lados congruentes (p. 98).
  • Um quadrado é um retângulo que também é um losango (p. 98).
  • Um trapézio é um quadrilátero em que dois lados opostos são paralelos. Os lados paralelos de um trapézio são chamados bases e os outros dois são denominados de laterais (p. 98).

Em resumo João Lucas M.B. classifica os quadriláteros conforme exposto figura 5.

Quadriláteros Notáveis de João Lucas M.B. Figura 5

Note que todos estes matemáticos consideram o conjunto dos quadriláteros como uma bipartição por disjunção, ou seja, não existem paralelogramos que são trapézios e vice – versa. Isto não anula a existência de estudos e literaturas que discutam a possibilidade de o conjunto dos paralelogramos ser um subconjunto do conjunto dos trapézios. É o caso dos estudos dos matemáticos: Guy Laville[7] ; Fritz Reinhardt et Heinrich Soeder em seu Atlas des Mathématiques[8] ; Vicenzo Bongiovanni na Revista do Professor de Matemática, Nª 72[9] e José Adelino Serrasqueiro no seu Tratado de Geometria Elementar[10] .

Definição[editar | editar código-fonte]

Um quadrilátero ABCD é o polígono simples de quatro lados obtido da reunião \overline{AB}\cup \overline{BC} \cup \overline{CD} \cup \overline{DA}.

Elementos[editar | editar código-fonte]

Identificamos os seguintes elementos em um quadrilátero ABCD: (figura 7)

Quadrilátero ABCD'Figura 7'
  • vértices: os pontos A, B, C e D;
  • lados: os segmentos de reta \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD} e \overline{DA};
  • diagonais: A diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não consecutivos do polígono, portanto os segmentos \overline{AC} e \overline{BD} são chamados de diagonais do quadrilátero ABCD. (figura 7)
  • ângulos internos: os ângulos D\hat{A}B (\hat{a}), A\hat{B}C (\hat{b}), B\hat{C}D (\hat{c}), C\hat{D}A (\hat{d});
  • Os ângulos \hat{e}, \hat{f}, \hat{g} e \hat{h} são os ângulos externos do quadrilátero.

Cada ângulo interno de um quadrilátero tem por suplemento o seu respectivo ângulo externo.

  • \hat{e} é o suplemento do ângulo \hat{a}
  • \hat{f} é o suplemento do ângulo \hat{b}
  • \hat{g} é o suplemento do ângulo \hat{c}
  • \hat{h} é o suplemento do ângulo \hat{d}

Soma dos ângulos internos e externos de um quadrilátero[editar | editar código-fonte]

  • A soma de seus ângulos internos é igual a 360^\circ. [2] . A seguir observe a demonstração:

Seja o quadrilátero ABCD: (figura 8)

A diagonal AC foi traçada para subdividir o quadrilátero ABCD em dois triângulos (A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º) Figura 8

Sempre podemos subdividir qualquer quadrilátero em 2 triângulos (na figura ao lado os triângulos são ADC e ABC), então a soma dos ângulos internos será igual a:

S = 2 . (180º )

S = 360º (figura 9)

Ilustração da soma dos ângulos internos de um quadrilátero. Figura 9
  • A soma de seus ângulos externos é igual a 360º.[2] A seguir observe a demonstração:

Seja o quadrilátero ABCD: (figura 10)

A soma dos ângulos externos de um quadrilátero é igual a 360º. Figura 10

Sendo \hat{a}, \hat{b}, \hat{c} e \hat{d} os ângulos internos do quadrilátero e \hat{e}, \hat{f}, \hat{g} e \hat{h} os respectivos ângulos externos do quadrilátero:

\hat{a} + \hat{e} = 180^\circ

\hat{b} + \hat{f} = 180^\circ

\hat{c} + \hat{g} = 180^\circ

\hat{d} + \hat{h} = 180^\circ

Somando estas equações:

\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d} = Soma dos ângulos internos (Si) do quadrilátero ABCD (360º).

\hat{e} + \hat{f} + \hat{g} + \hat{h} = Soma dos ângulos externos do quadrilátero ABCD (Se).

Então:

360º + Se = 720º

Se = 360º

Note que:

Em todo quadrilátero a soma dos ângulos internos é igual a soma dos ângulos externos.

Quadriláteros Côncavos e Convexos[editar | editar código-fonte]

Os quadriláteros são classificados em quadriláteros convexos ou côncavos. Um quadrilátero é convexo quando a região plana limitada por seus lados é convexa, caso contrário ele é côncavo.

Uma outra forma de definir quadriláteros convexos e côncavos é a seguinte:

  • Um polígono é convexo se a reta que contém qualquer de seus lados deixa todos os demais lados no mesmo semiplano. De forma contrária, um polígono é côncavo se existe uma reta que contém um de seus lados e deixa parte dos demais lados num semiplano e parte no outro semiplano. (figura 11)
Quadriláteros côncavos e convexos. Figura 11

Dentre os quadriláteros convexos existem dois grupos que se destacam: os trapézios e os paralelogramos.

Classificação dos Quadriláteros[editar | editar código-fonte]

Trapézios[editar | editar código-fonte]

Um quadrilátero convexo é um trapézio se, e somente se, possui apenas um par de lados opostos, paralelos.

Propriedades dos trapézios[editar | editar código-fonte]

□ Os lados paralelos AB e DC do trapézio são denominados bases e os outros dois lados não paralelos AD e BC são denominados de laterais. (figura 12)

□ Em qualquer trapézio tem - se que: (figura 13)

Trapézios

▪ Os ângulos  DAB e CDA são colaterais internos, logo são suplementares (a soma de suas medidas é igual a 180º).

e

▪ Os ângulos ABC e BCD são colaterais internos, logo são suplementares (a soma de suas medidas é igual a 180º).

Os ângulos de uma mesma lateral de um trapézio são suplementares.

Tipos de trapézios[editar | editar código-fonte]

Trapézio Isósceles[editar | editar código-fonte]

Um trapézio é dito isósceles se suas laterais são congruentes. (figura 14)

Propriedades dos trapézios isósceles[editar | editar código-fonte]

Em todo trapézio isósceles os ângulos apoiados em uma mesma base, são congruentes.(figura 15)

Trapézios Isósceles
Demonstração:[editar | editar código-fonte]

Seja o trapézio isósceles ABCD. (figura 15)

Traçando a altura DE e CF definimos dois triângulos retângulos DEA e CFB. Pelo caso especial de congruência entre triângulos retângulos, estes triângulos são congruentes, pois as respectivas hipotenusas têm a mesma medida e os catetos DE correspondente ao cateto CF possuem a mesma medida. Portanto, os ângulos  DAE e CBF são congruentes e consequentemente os respectivos ângulos  ADC e BCD também são congruentes entre si.

As diagonais dos trapézios isósceles são congruentes.

As diagonais de trapézio isósceles possuem a mesma medida.
Demonstração:[editar | editar código-fonte]

Pelo caso LAL, os triângulos  ADB e ACB são congruentes. Esses triângulos têm o lado  AB comum, os lados  DA e BC, com a mesma medida e os ângulos  DAB e  CBA congruentes. Dessa forma, as diagonais  AC e BD são congruentes.

Trapézio Escaleno:[editar | editar código-fonte]

São todos os trapézios que têm as laterais com medidas diferentes. (figura 16)

Trapézio Retângulo:[editar | editar código-fonte]

São todos os trapézios escalenos que têm uma de suas laterais perpendicular às bases do trapézio. (figura 17)

Trapézios Escalenos e Trapézios Retângulos. Todo trapézio retângulo é escaleno, mas nem todo trapézio escaleno é trapézio retângulo.

Paralelogramos[editar | editar código-fonte]

Um paralelogramo é um quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. (figura 18)

Paralelogramo ABCD. Figura 18'AB // DC e AD // BC'

Propriedades dos Paralelogramos[editar | editar código-fonte]

□ Em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer são congruentes. (figura 19)

Demonstração:[editar | editar código-fonte]

Seja o paralelogramo ABCD:

                Na figura 19 os ângulos DAB e ADC são suplementares (colaterais internos). Sendo os ângulos ADC e DCB suplementares também (colaterais internos), pode - se afirmar que os ângulos DAB e DCB são congruentes. Ambos são suplementos de um mesmo ângulo (ângulo ADC).               

□ Em todo paralelogramo lados opostos são congruentes. (figura 20)

Demonstração:[editar | editar código-fonte]

Na figura 20 pode - se definir dois pares de triângulos congruentes pelo caso LAAo. São eles: os triângulos DAE e CBF e os triângulos AGB e DHC. Portanto, as medidas dos lados AD e BC são iguais, bem como, as medidas dos lados AB e DC são iguais.

□ As diagonais de um paralelogramo se intersectam em um ponto que é ponto médio das duas diagonais (figura 21)

Demonstração:[editar | editar código-fonte]

Traçando as diagonais no paralelogramo ABCD da figura 21 fica definido dois triângulo: AMB e DMC congruentes pelo caso LAL (o ângulo comum é o ângulo de vértice M). Provando que o ponto M divide as diagonais do paralelogramo ao meio.

Propriedades dos paralelogramos

Paralelogramos Notáveis[editar | editar código-fonte]

  • Retângulo: São paralelogramos que possuem os quatro ângulos internos congruentes. É o paralelogramo equiângulo.
  • Losango: São paralelogramos que possuem os quatro lados congruentes. É o paralelogramo equilátero.
  • Quadrado: É um retângulo que possui os quatro lados congruentes. É o paralelogramo equiângulo e equilátero, portanto, é o quadrilátero regular. (Todo quadrado é losango e retângulo)
    Tipos de Paralelogramos.

Propriedades dos Paralelogramos Notáveis[editar | editar código-fonte]

Retângulos:[editar | editar código-fonte]

□ Em todo retângulo as diagonais são congruentes. (figura 22)

Propriedade dos retângulos. Figura 22
Demonstração:[editar | editar código-fonte]

Traçando as diagonais do retângulo ABCD da figura 22, definimos dois triângulos retângulos DAB e CBA congruentes entre si pelo caso LAL. Portanto, sendo as hipotenusas desses triângulos as respectivas diagonais do retângulo ABCD, pode - se concluir que as diagonais de um retângulo possuem a mesma medida.

Losangos:[editar | editar código-fonte]

□ As diagonais de um losango são perpendiculares entre si. (figura 23)

□ As diagonais de um losango são bissetrizes dos seus ângulos internos. (figura 23)

Propriedades dos losangos. Figura 23
Demonstração:[editar | editar código-fonte]

Inicialmente traçaremos as diagonais do losango ABCD (figura 23).

Observe os triângulos Isósceles ADC e ABC, note que as respectivas medianas DM e BM relativas a base AC também são as respectivas alturas destes triângulos (pela propriedade do triângulo isósceles). Observando os triângulos isósceles BAD e BCD, note que as respectivas medianas AM e CM relativas a base BD também são as respectivas alturas destes triângulos. Portanto as diagonais (BD = BM + DM e AC = AM + CM) do losango são perpendiculares. Sabe - se também que em todo triângulo isósceles a altura e a mediana relativa a base é bissetriz interna. Portanto as diagonais do losango também são bissetrizes dos ângulos internos do losango.

Quadrados:[editar | editar código-fonte]
Quadrado

□ Além das propriedades dos paralelogramos, o quadrado tem as propriedades características dos retângulos (equiângulo) e dos losangos (equilátero).

□ Se um quadrilátero convexo tem as diagonais que se cortam ao meio, então é um paralelogramo; tem diagonais que se cortam ao meio e são congruentes, então é um retângulo; tem diagonais que se cortam ao meio e são perpendiculares, então é um losango; tem diagonais que se cortam ao meio, são congruentes e são perpendiculares, então é um quadrado.

Diagonal dos quadrados (Figura 24)[editar | editar código-fonte]
Diagonal do quadrado. Figura 24

Área dos Quadriláteros Notáveis[editar | editar código-fonte]

Área do trapézio[editar | editar código-fonte]

A=\dfrac{(B+b).h}{2}

onde, B é a base maior do trapézio; b é a base menor do trapézio; h é a altura do trapézio.

Área do paralelogramo[editar | editar código-fonte]

A=b.h

onde, b é a base do paralelogramo; h é a altura do paralelogramo. Como todo retângulo, losango e quadrado é um paralelogramo, o calculo de sua área é feito da mesma forma.

Área dos paralelogramos

Considere D e d a diagonal maior e a diagonal menor do losango, respectivamente. Note que a área do losango é a metade da área de um retângulo cujos lados são as respectivas diagonais do losango.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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Referências[editar | editar código-fonte]

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  1. Frank Ayres, Robert E. Moyer. Teoria E Prob. de Trigonometria (em português) Bookman, 2003. p. 185.
  2. a b c Dolce, O.. Fundamentos de Matemática Elementar. 9 ed. [S.l.]: Atual, 2013. ISBN 9788535716863
  3. Bicudo, Irineu. Os Elementos de Euclides. [S.l.: s.n.], 2009. ISBN 978-85-7139-935-8
  4. Legendre, Adrien-Marie. Elementos de Geometria. [S.l.: s.n.], 2009. ISBN 978-85-61545-03-1
  5. castellanos, José Hernan Perez. Geometría Elemental. [S.l.: s.n.], 1971.
  6. Barbosa, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. [S.l.: s.n.], 2006. ISBN 85-85818-02-6
  7. Laville, Guy. Géométrie pour le capes et l’agrégation. ellipses: ellipses – Edition marketing S. A., 1998, p. 199 e 212.
  8. Reinhardt, Fritz; SOEDER, Heinrich. Atlas des mathématiques. Paris: Librairie Générale Française, 1997, p. 162 – 163.
  9. Bongiovanni, Vicenzo. As diferentes definições dos quadriláteros notáveis. Revista do Professor de Matemática, PUC - São Paulo, n. 55.
  10. Serrasqueiro, José Adelino. Tratado de geometria elementar, composto segundo o programa oficial para o ensino desta ciência nos liceus. Coimbra, Livraria central de J. Diogo Pires, sucessoras, 1926, Livro quarto, cap. 1, p. 97 – 105.
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