Quadrilátero

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Um quadrilátero.

Em geometria plana euclidiana, quadrilátero é um polígono de quatro lados.[1] A soma dos seus ângulos internos é igual a , bem como a soma dos seus ângulos externos.[2]

As Definições de Quadriláteros ao Longo da História[editar | editar código-fonte]

Os Elementos de Euclides[editar | editar código-fonte]

Os Elementos de Euclides foi um dos mais antigos tratados gregos existentes; a mais renomada obra na história da matemática. Segundo Proclus tal obra está relacionada com o resto da matemática, assim como as letras do alfabeto estão relacionadas com a linguagem (História da Matemática, p. 72)[carece de fontes?]. Euclides em sua obra, “Os Elementos”, livro I, Definições, admite as seguintes definições para as figuras quadriláteros:

  • Rombóide é a que tem tanto os lados opostos quanto os ângulos opostos iguais entre si, a qual não é equilátera nem retangular (p. 98). Ser retangular para Euclides é ter cada um dos ângulos opostos reto
  • Das áreas paralelogrâmicas ACDB­­­, tanto os lados quanto os ângulos opostos são iguais entre si (p. 124). “... digo que tanto os lados quanto os ângulos opostos do paralelogramo ACDB são iguais entre si...”
  • Paralelogramo ABCD
    paralelogramo retangular ou retângulo é dito ser contido pelas duas retas que contêm o ângulo reto
  • paralelogramo equilátero é tido por Euclides como uma figura quadrilátera que tem os quatro lados com a mesma medida
  • oblongo é retangular e não é equilátera
  • losango é equilátera e não é retangular
  • quadrado é aquela que é tanto equilátera quanto retangular
  • trapézios são as figuras quadriláteras além dessas

Em resumo Euclides define os quadriláteros da seguinte forma:

Quadriláteros Notáveis de Euclides.

[3] [editar | editar código-fonte]

No século XVIII, momento da Revolução Francesa (1789) e período do apogeu das ideias iluministas podemos destacar Legendre como um matemático, que como resposta a sua inquietação com relação à necessidade de maior rigor matemático, revive em sua obra intitulada por “Elements de geométrie”, a qualidade intelectual de Euclides, Legendre nesta obra, especificamente no capítulo, Princípios, livro I, afirma que os polígonos de quatro lados são chamados de quadriláteros e entre os quadriláteros, os que mais se distingue são:

  • o paralelogramo ou rombo, que tem os lados paralelos (p.25).
  • o retângulo, que tem os ângulos retos e não tem os lados iguais (p. 25).
  • o losango, que tem os lados iguais, mas os ângulos não (necessariamente) retos (p. 25).
  • o quadrado, que tem os lados iguais e os ângulos retos (p. 25).
  • o trapézio, que só têm dois lados paralelos (p. 25).

Em resumo Legendre define os quadriláteros da seguinte forma: (figura 3)

Quadriláteros Notáveis de Legendre Figura 3

[4] [editar | editar código-fonte]

Em seu livro: Geometria Elementar, primeira edição em 1971. Edwin M. Hemmerling, define os quadriláteros da seguinte maneira:

  • Quadriláteros: um polígono é um quadrilátero quando tem quatro lados (p. 205).
  • Trapézio: um quadrilátero é um trapézio se, e somente se ele tiver um, e apenas um par de lados paralelos. Os lados paralelos são as bases do trapézio. Os lados não paralelos são simplesmente lados (p. 207).
  • Trapézio isósceles: é aquele em que os lados não adjacentes são congruentes. Um par de ângulos que compartilham uma mesma base são chamados ângulos da base (p. 207).
  • Paralelogramo: um quadrilátero é um paralelogramo se, e somente se, os pares de lados opostos são paralelos. Qualquer lado pode ser considerado base (p. 208).
  • Losango: é um paralelogramo equilátero (p. 208).
  • Retângulo: é um paralelogramo que tem um ângulo reto. Um retângulo é quadrado se, e somente se, tem os quatro lados congruentes. Portanto é um retângulo equilátero (p. 208).

Em resumo Hemmerling define os quadriláteros da seguinte forma: (figura 4)

Quadriláteros Notáveis de Hemmerling Figura 4

Geometria Euclidiana Plana de João Lucas Marques Barbosa[5] [editar | editar código-fonte]

O livro “Geometria Euclidiana Plana” de João Lucas Marques Barbosa é um dos mais vendidos da Sociedade Brasileira de Matemática a cada ano, desde 1985. É tido como o livro que aborda a geometria axiomática de forma mais acessível para um educando iniciante nos estudos da Geometria Plana Euclidiana. Atualmente é o livro adotado pela Universidade Federal de Pernambuco para a formação de professores de Matemática na cadeira de Geometria Plana. Dessa forma, foi escolhido para a análise das definições dos quadriláteros. As definições seguintes foram adotadas por João Lucas neste livro:

  • Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos (p. 91).
  • Um retângulo é um quadrilátero que tem todos os seus ângulos, retos (p. 98).
  • Um losango (também denominado rombo) é um paralelogramo que tem todos os seus lados congruentes (p. 98).
  • Um quadrado é um retângulo que também é um losango (p. 98).
  • Um trapézio é um quadrilátero em que dois lados opostos são paralelos. Os lados paralelos de um trapézio são chamados bases e os outros dois são denominados de laterais (p. 98).

Em resumo João Lucas M.B. classifica os quadriláteros conforme exposto figura 5.

Quadriláteros Notáveis de João Lucas M.B. Figura 5

Note que todos estes matemáticos consideram o conjunto dos quadriláteros como uma bipartição por disjunção, ou seja, não existem paralelogramos que são trapézios e vice – versa. Isto não anula a existência de estudos e literaturas que discutam a possibilidade de o conjunto dos paralelogramos ser um subconjunto do conjunto dos trapézios. É o caso dos estudos dos matemáticos: Guy Laville[6] ; Fritz Reinhardt et Heinrich Soeder em seu Atlas des Mathématiques[7] ; Vicenzo Bongiovanni na Revista do Professor de Matemática, Nª 72[8] e José Adelino Serrasqueiro no seu Tratado de Geometria Elementar[9] .

Definição[editar | editar código-fonte]

Um quadrilátero é o polígono simples de quatro lados obtido da reunião

Elementos[editar | editar código-fonte]

Identificamos os seguintes elementos em um quadrilátero (figura 7)

Quadrilátero ABCD'Figura 7'
  • vértices: os pontos e
  • lados: os segmentos de reta e
  • diagonais: A diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não consecutivos do polígono, portanto os segmentos  e  são chamados de diagonais do quadrilátero ABCD. (figura 7)
  • ângulos internos: os ângulos
  • Os ângulos e são os ângulos externos do quadrilátero.

Cada ângulo interno de um quadrilátero tem por suplemento o seu respectivo ângulo externo.

  • é o suplemento do ângulo
  • é o suplemento do ângulo
  • é o suplemento do ângulo
  • é o suplemento do ângulo

Soma dos ângulos internos e externos de um quadrilátero[editar | editar código-fonte]

  • A soma de seus ângulos internos é igual a [2] . A seguir observe a demonstração:

Seja o quadrilátero ABCD: (figura 8)

A diagonal AC foi traçada para subdividir o quadrilátero ABCD em dois triângulos (A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º) Figura 8

Sempre podemos subdividir qualquer quadrilátero em 2 triângulos (na figura ao lado os triângulos são ADC e ABC), então a soma dos ângulos internos será igual a:

S = 2 . (180º )

S = 360º (figura 9)

Ilustração da soma dos ângulos internos de um quadrilátero. Figura 9
  • A soma de seus ângulos externos é igual a 360º.[2] A seguir observe a demonstração:

Seja o quadrilátero ABCD: (figura 10)

A soma dos ângulos externos de um quadrilátero é igual a 360º. Figura 10

Sendo e os ângulos internos do quadrilátero e e os respectivos ângulos externos do quadrilátero:

Somando estas equações:

Soma dos ângulos internos (Si) do quadrilátero ABCD (360º).

Soma dos ângulos externos do quadrilátero ABCD (Se).

Então:

360º + Se = 720º

Se = 360º

Note que:

Em todo quadrilátero a soma dos ângulos internos é igual a soma dos ângulos externos.

Quadriláteros Côncavos e Convexos[editar | editar código-fonte]

Os quadriláteros são classificados em quadriláteros convexos ou côncavos. Um quadrilátero é convexo quando a região plana limitada por seus lados é convexa, caso contrário ele é côncavo.

Uma outra forma de definir quadriláteros convexos e côncavos é a seguinte:

  • Um polígono é convexo se a reta que contém qualquer de seus lados deixa todos os demais lados no mesmo semiplano. De forma contrária, um polígono é côncavo se existe uma reta que contém um de seus lados e deixa parte dos demais lados num semiplano e parte no outro semiplano. (figura 11)
Quadriláteros côncavos e convexos. Figura 11

Dentre os quadriláteros convexos existem dois grupos que se destacam: os trapézios e os paralelogramos.

Classificação dos Quadriláteros[editar | editar código-fonte]

Trapézios[editar | editar código-fonte]

Um quadrilátero convexo é um trapézio, somente se, possui apenas um par de lados opostos, paralelos.

Propriedades dos trapézios[editar | editar código-fonte]

□ Os lados paralelos AB e DC do trapézio são denominados bases e os outros dois lados não paralelos AD e BC são denominados de laterais. (figura 12)

□ Em qualquer trapézio tem - se que: (figura 13)

Trapézios

▪ Os ângulos  DAB e CDA são colaterais internos, logo são suplementares (a soma de suas medidas é igual a 180º).

e

▪ Os ângulos ABC e BCD são colaterais internos, logo são suplementares (a soma de suas medidas é igual a 180º).

Os ângulos de uma mesma lateral de um trapézio são suplementares.

Tipos de trapézios[editar | editar código-fonte]

Trapézio Isósceles[editar | editar código-fonte]

Um trapézio é dito isósceles se suas laterais são congruentes. (figura 14)

Propriedades dos trapézios isósceles[editar | editar código-fonte]

Em todo trapézio isósceles os ângulos apoiados em uma mesma base, são congruentes.(figura 15)

Trapézios Isósceles
Demonstração:[editar | editar código-fonte]

Seja o trapézio isósceles ABCD. (figura 15)

Traçando a altura DE e CF definimos dois triângulos retângulos DEA e CFB. Pelo caso especial de congruência entre triângulos retângulos, estes triângulos são congruentes, pois as respectivas hipotenusas têm a mesma medida e os catetos DE correspondente ao cateto CF possuem a mesma medida. Portanto, os ângulos  DAE e CBF são congruentes e consequentemente os respectivos ângulos  ADC e BCD também são congruentes entre si.

As diagonais dos trapézios isósceles são congruentes.

As diagonais de trapézio isósceles possuem a mesma medida.
Demonstração:[editar | editar código-fonte]

Pelo caso LAL, os triângulos  ADB e ACB são congruentes. Esses triângulos têm o lado  AB comum, os lados  DA e BC, com a mesma medida e os ângulos  DAB e  CBA congruentes. Dessa forma, as diagonais  AC e BD são congruentes.

Trapézio Escaleno:[editar | editar código-fonte]

São todos os trapézios que têm as laterais com medidas diferentes. (figura 16)

Trapézio Retângulo:[editar | editar código-fonte]

São todos os trapézios escalenos que têm uma de suas laterais perpendicular às bases do trapézio. (figura 17)

Trapézios Escalenos e Trapézios Retângulos. Todo trapézio retângulo é escaleno, mas nem todo trapézio escaleno é trapézio retângulo.

Paralelogramos[editar | editar código-fonte]

Um paralelogramo é um quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. (figura 18)

Paralelogramo ABCD. Figura 18'AB // DC e AD // BC'

Propriedades dos Paralelogramos[editar | editar código-fonte]

□ Em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer são congruentes. (figura 19)

Demonstração:[editar | editar código-fonte]

Seja o paralelogramo ABCD:

                Na figura 19 os ângulos DAB e ADC são suplementares (colaterais internos). Sendo os ângulos ADC e DCB suplementares também (colaterais internos), pode - se afirmar que os ângulos DAB e DCB são congruentes. Ambos são suplementos de um mesmo ângulo (ângulo ADC).               

□ Em todo paralelogramo lados opostos são congruentes. (figura 20)

Demonstração:[editar | editar código-fonte]

Na figura 20 pode - se definir dois pares de triângulos congruentes pelo caso LAAo. São eles: os triângulos DAE e CBF e os triângulos AGB e DHC. Portanto, as medidas dos lados AD e BC são iguais, bem como, as medidas dos lados AB e DC são iguais.

□ As diagonais de um paralelogramo se intersectam em um ponto que é ponto médio das duas diagonais (figura 21)

Demonstração:[editar | editar código-fonte]

Traçando as diagonais no paralelogramo ABCD da figura 21 fica definido dois triângulo: AMB e DMC congruentes pelo caso LAL (o ângulo comum é o ângulo de vértice M). Provando que o ponto M divide as diagonais do paralelogramo ao meio.

Propriedades dos paralelogramos

Paralelogramos Notáveis[editar | editar código-fonte]

  • Retângulo: São paralelogramos que possuem os quatro ângulos internos congruentes. É o paralelogramo equiângulo.
  • Losango: São paralelogramos que possuem os quatro lados congruentes. É o paralelogramo equilátero.
  • Quadrado: É um retângulo que possui os quatro lados congruentes. É o paralelogramo equiângulo e equilátero, portanto, é o quadrilátero regular. (Todo quadrado é losango e retângulo)
    Tipos de Paralelogramos.

Propriedades dos Paralelogramos Notáveis[editar | editar código-fonte]

Retângulos:[editar | editar código-fonte]

□ Em todo retângulo as diagonais são congruentes. (figura 22)

Propriedade dos retângulos. Figura 22
Demonstração:[editar | editar código-fonte]

Traçando as diagonais do retângulo ABCD da figura 22, definimos dois triângulos retângulos DAB e CBA congruentes entre si pelo caso LAL. Portanto, sendo as hipotenusas desses triângulos as respectivas diagonais do retângulo ABCD, pode - se concluir que as diagonais de um retângulo possuem a mesma medida.

Losangos:[editar | editar código-fonte]

□ As diagonais de um losango são perpendiculares entre si. (figura 23)

□ As diagonais de um losango são bissetrizes dos seus ângulos internos. (figura 23)

Propriedades dos losangos. Figura 23
Demonstração:[editar | editar código-fonte]

Inicialmente traçaremos as diagonais do losango ABCD (figura 23).

Observe os triângulos Isósceles ADC e ABC, note que as respectivas medianas DM e BM relativas a base AC também são as respectivas alturas destes triângulos (pela propriedade do triângulo isósceles). Observando os triângulos isósceles BAD e BCD, note que as respectivas medianas AM e CM relativas a base BD também são as respectivas alturas destes triângulos. Portanto as diagonais (BD = BM + DM e AC = AM + CM) do losango são perpendiculares. Sabe - se também que em todo triângulo isósceles a altura e a mediana relativa a base é bissetriz interna. Portanto as diagonais do losango também são bissetrizes dos ângulos internos do losango.

Quadrados:[editar | editar código-fonte]
Quadrado

□ Além das propriedades dos paralelogramos, o quadrado tem as propriedades características dos retângulos (equiângulo) e dos losangos (equilátero).

□ Se um quadrilátero convexo tem as diagonais que se cortam ao meio, então é um paralelogramo; tem diagonais que se cortam ao meio e são congruentes, então é um retângulo; tem diagonais que se cortam ao meio e são perpendiculares, então é um losango; tem diagonais que se cortam ao meio, são congruentes e são perpendiculares, então é um quadrado.

Diagonal dos quadrados (Figura 24)[editar | editar código-fonte]
Diagonal do quadrado. Figura 24

Área dos Quadriláteros Notáveis[editar | editar código-fonte]

Área do trapézio[editar | editar código-fonte]

onde, B é a base maior do trapézio; b é a base menor do trapézio; h é a altura do trapézio.

Área do paralelogramo[editar | editar código-fonte]

onde, b é a base do paralelogramo; h é a altura do paralelogramo. Como todo retângulo, losango e quadrado é um paralelogramo, o calculo de sua área é feito da mesma forma.

Área dos paralelogramos

Considere D e d a diagonal maior e a diagonal menor do losango, respectivamente. Note que a área do losango é a metade da área de um retângulo cujos lados são as respectivas diagonais do losango.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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Referências[editar | editar código-fonte]

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  1. Frank Ayres, Robert E. Moyer. Teoria E Prob. de Trigonometria (em português) Bookman, 2003. p. 185.
  2. a b c Dolce, O. (2013). Fundamentos de Matemática Elementar 9 ed. Atual [S.l.] ISBN 9788535716863. 
  3. Legendre, Adrien-Marie (2009). Elementos de Geometria [S.l.: s.n.] ISBN 978-85-61545-03-1. 
  4. castellanos, José Hernan Perez (1971). Geometría Elemental [S.l.: s.n.] 
  5. Barbosa, João Lucas Marques (2006). Geometria Euclidiana Plana [S.l.: s.n.] ISBN 85-85818-02-6. 
  6. Laville, Guy. Géométrie pour le capes et l’agrégation. ellipses: ellipses – Edition marketing S. A., 1998, p. 199 e 212.
  7. Reinhardt, Fritz; SOEDER, Heinrich. Atlas des mathématiques. Paris: Librairie Générale Française, 1997, p. 162 – 163.
  8. Bongiovanni, Vicenzo. As diferentes definições dos quadriláteros notáveis. Revista do Professor de Matemática, PUC - São Paulo, n. 55.
  9. Serrasqueiro, José Adelino. Tratado de geometria elementar, composto segundo o programa oficial para o ensino desta ciência nos liceus. Coimbra, Livraria central de J. Diogo Pires, sucessoras, 1926, Livro quarto, cap. 1, p. 97 – 105.
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