Quinto problema de Hilbert

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O quinto problema de Hilbert é um problema matemático da lista de problemas proposta em 1900 pelo matemático David Hilbert.[1]

A proposta original de Hilbert era:

Desenvolver uma teoria dos grupos contínuos de transformações sem assumir a hipótese de diferenciação nas funções que definem o grupo

A teoria dos grupos contínuos de transformações, em nomenclatura moderna, é a teoria dos grupos de Lie.[2]

Um grupo de Lie é um objeto matemático G dotado tanto de uma estrutura de grupo quanto de superfície,[Nota 1] em que a operação de multiplicação do grupo [Nota 2] é suave. Exemplos de grupos de Lie são o espaço euclidiano real com a operação de soma (\mathbb{R}^n, +)\,, o círculo S1,[Nota 3] o toro Tn = S1 x ... x S1, o espaço das matrizes inversíveis nxn em \mathbb{R}\, ou \mathbb{C}\, Gl(n, F),[Nota 4] e o espaço das isometrias em três dimensões E3.[3]

O nome grupo de Lie faz referência ao matemático norueguês Sophus Lie (1842-1899) que estudou, no final do século XIX, sistemas de equações diferenciais, em particular transformações do espaço euclidiano real definidas por equações diferencias e como a composição destas transformações se relacionava ao par original de uma forma diferenciável. A noção abstrata de um grupo de Lie foi se desenvolvendo de forma gradual, até ser estabelecida por Mayer e Thomas em 1935. [4]


O quinto problema de Hilbert tinha uma resposta negativa, porém, com alguns ajustes, torna-se possível dar uma resposta. Conforme disse Andrew Gleason:[5]

Muitos matemáticos não estão cientes de que o problema, como proposto por Hilbert, não é o problema que vem sendo chamado de quinto problema de Hilbert. Foi mostrado bem cedo que o que ele estava propondo às pessoas era falso. Ele perguntou se a ação de um grupo localmente euclidiano sobre uma superfície era sempre analítica, o que é falso... É preciso mudar a questão consideravelmente para chegar à pergunta que ele estava interessado em saber se era verdade. Eu acho que isto é interessante. É também parte de como a teoria matemática se desenvolve. As pessoas tem ideias sobre como as coisas devem ser, e propõem isto como questões a serem trabalhadas, mas depois isto não se mostra válido.

Quando se tornou clara a noção de um grupo topológico, o quinto problema passou a ser entendido como a seguinte questão:

É possível introduzir coordenadas analíticas (ou seja, coordenadas em que a regra de multiplicação é dada por funções analíticas) em alguma vizinhança da identidade de um grupo localmente euclidiano?

Esta formulação torna o problema mais concreto, mas também o restringe, pois não considera todos os grupos de transformações.[2]

O resultado final, após passos fundamentais dados por von Neumann, Pontryagin, Chevalley e Mal'cev, foi dado por Gleason, Montgomery e Zippin em 1952, e estendido no ano seguinte por Yamabe. John von Neumann, em 1933, resolveu o problema para grupos compactos, Lev Pontryagin resolveu no ano seguinte o caso de grupos comutativos, Chevaley, em 1941 resolveu para grupos solúveis e Mal'cev, em 1946, para grupos solúveis conexos e localmente compactos. A resolução final veio com o trabalho de Andrew Gleason, Deane Montgomery e Leo Zippin, e em 1953 Hidehiko Yamabe obteve a resposta final para o quinto problema de Hilbert.[2]

Junto com o trabalho de Iwasawa, pode-se afirmar:[2]

Para todo grupo G localmente compacto e toda vizinhança U da identidade, existe uma vizinhança da identidade V contida em U que é resultado do produto direto de um grupo de Lie localmente conexo L e um grupo compacto. Além disto, se G não for totalmente desconexo, então a vizinhança V [Nota 5] pode ser escolhida tal que em toda decomposição desta forma o grupo local de Lie L tem dimensão positiva.[6]

Notas e referências

Notas

  1. Intuitivamente, uma superfície pode ser imaginada como um subconjunto de n dimensões imerso em um espaço de m dimensões, que se parece localmente com o espaço de n dimensões, porém levemente distorcido, como a superfície de uma esfera ou de um toro no espaço tridimensional.
  2. Multiplicação aqui é entendida no sentido da teoria dos grupos, ou seja, é uma operação binária associativa, com elemento neutro e elementos inversos; nos exemplos, a "multiplicação" em \mathbb{R}^n\, é a soma de vetores.
  3. Com a operação de "soma de ângulos".
  4. O texto de Richardson, incorretamente, considera este grupo de matrizes como subconjunto do espaço Fn.
  5. Na fonte consultada, está escrito erroneamente U.

Referências

  1. David Hilbert, "Mathematical Problems". , Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 8, no. 10 (1902), pp. 437-479. Earlier publications (in the original German) appeared in Göttinger Nachrichten, 1900, pp. 253-297, and Archiv der Mathematik und Physik, 3dser., vol. 1 (1901), pp. 44-63, 213-237.
  2. a b c d V. M. Gluskov, The structure of locally compact groups and Hilbert's fifth problem, publicado em V. S. Carin (ed.), Nine papers on foundations, algebra, topology, functions of a complex variable, American Mathematical Society, 31 de dezembro de 1960, p.55 [google books]
  3. Ken Richardson, Professor of Mathematics, Department of Mathematics, Texas Christian University; Seminar Notes, Lie Groups Seminar Notes, 1. Lie Groups, Definition 1.1 e exemplos, p.1 [pdf]
  4. John F. Price, Lie Groups and Compact Groups (1977), Chapter 2, Lie groups and Lie algebras, Notes, p.52 [google books]
  5. Juliette Kennedy, Can the Continuum Hypothesis be solved? [https://www.ias.edu/about/publications/ias-letter/articles/2011-fall/continuum-hypothesis-kennedy [em linha]
  6. Gluskov, p.56


Ver também[editar | editar código-fonte]