Radiciação

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A radiciação é uma operação matemática, sendo a raiz apenas uma forma de se representar a potenciação com expoente fracionário.

Para um número real a, a expressão \sqrt[n]{a} representa o único número real x que verifica x^n=a e tem o mesmo sinal que a (quando existe). Quando n é omitido, significa que n=2 e o símbolo de radical refere-se à raiz quadrada. A x chama-se a raiz, a n índice, a a radicando e a \sqrt{\,\,\,} radical.

História[editar | editar código-fonte]

A origem do símbolo √ usado para representar uma raiz é bastante especulativo. Algumas fontes dizem que o símbolo foi usado pela primeira vez pelos árabes, e o primeiro uso foi de Al-Qalasady (1421-1486) ,matemático árabe, e que o símbolo venha da letra ''ج'' de seu alfabeto, a primeira letra da palavra "Jadhir".

Muitos, incluindo Leonard Euler,[1] acreditam que o símbolo origina-se da letra r, que é a primeira letra da palavra radix que em latim se refere à mesma operação matemática. O símbolo foi visto pela primeira vez impresso sem o vínculo (a linha horizontal que fica sobre os números dentro da raiz) em 1525 no Die Coss do matemático alemão Christoff Rudolff.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • \sqrt{9}=\sqrt[2]{3}^{2}=3
  • \sqrt[3]{1}=1

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Para a e b positivos tem-se:

  • \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b},
  • \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},
  • \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = a^{\frac{m}{n}},
  • \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}
  • (\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}
  • a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}
  • a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}
  • \sqrt[n]{a^n} = a
  • \sqrt[2]{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt[2]{(a+\sqrt{a^2-b})/2}\pm\sqrt[2]{(a-\sqrt{a^2-b})/2}

Racionalização[editar | editar código-fonte]

Quando o denominador de uma fração envolve radicais, o processo pelo qual se transforma essa fração neutra cujo denominador não tem radicais chama-se racionalização de fração.

Exemplos:

\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}
\frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}

Algoritmo de extração de raiz quadrada[editar | editar código-fonte]

Segue abaixo uma animação que demonstra um algoritmo de extração da raiz quadrada.

Radiciação.gif

ao colocarmos 4:8= 0.5

Algoritmo de extração de raiz qualquer[editar | editar código-fonte]

Podemos extrair raízes quaisquer, inclusive quadradas, através de um método bastante semelhante ao exposto acima.

Tomemos como exemplo a extração da raiz quinta de 123.456.789.

Devemos proceder conforme os seguintes passos:

1) Separamos os algarismos do radicando em grupos de 5 algarismos à partir da direita.

Exemplo: 1234.56789 (ficaram dois grupos: um de 4 algarismos que é o primeiro grupo e um de 5 algarismos que é o segundo grupo).

2) Da esquerda para a direita, tomamos o primeiro grupo que é o composto por 4 algarismos e determinamos por tentativa e erro qual o algarismo de 1 a 9 que elevado à quinta potência resulta em um valor igual ou inferior ao valor desse grupo.

Exemplo: 5 ^ 5 = 3.125 é maior que 1234. 4 ^ 5 = 1024 é menor, portanto, este é o primeiro dígito de nossa raiz.

3) Juntamos agora, ao primeiro grupo, o grupo seguinte, composto por 5 algarismos.

Exemplo: 123.456.789

4) Procuraremos agora um algarismo de 0 a 9 que colocado à direita do primeiro dígito da raiz já calculado resulte num valor que elevado à quinta potência, resulte num valor igual ou imediatamente inferior ao valor formado por ambos os grupos.

Exemplo: 42 ^ 5 = 130.691.232 é maior que 123.456.789. 41 ^ 5 = 115.856.201 é menor que 123.456.789, portanto, este é o próximo algarismo da raiz.

5) Caso queiramos continuar a radiciação, basta irmos adicionando grupos de 5 zeros à direita do radicando e concatenando-os aos grupos anteriores para determinarmos os próximos algarismos da raiz.

Exemplo: 12.345.678.900.000

6) Procuraremos agora, um algarismo de 0 a 9 que colocado à direita dos algarismos anteriores da raiz, forme um valor que elevado à quinta potência resulte num valor igual ou imediatamente inferior ao valor do radicando acima.

Exemplo: 416 ^ 5 = 12.458.525.720.576 é maior que 12.345.678.900.000. 415 ^ 5 = 12.309.502.009.375 é menor que 12.345.678.900.000. Portanto, esse é o próximo algarismo da raiz.

Se quisermos continuar, é só adicionarmos mais um grupo de 5 zeros ao radicando e repetir a operação.

Observe que após inserirmos o primeiro grupo de 5 zeros, fez-se necessária a presença de uma vírgula para separarmos as casas decimais mas não a utilizei na conta.

Portanto o resultado até agora é 41,6.

O mesmo processo funciona para qualquer radiciação de qualquer índice: 2, 3, 4, 5, 10.000, etc.

Basta atentarmos para o fato de que o tamanho dos grupos serão de 2, 3, 4, 5, 10.000, etc., conforme o índice da radiciação.

Este método é adaptado do método sanduíche expresso conforme abaixo:

41,5 ^ 5 <= 123.456.789 <= 41,6 ^ 5

Espero que utilizem este método intensivamente pois o mesmo é o mais simples que existe.

Somente a título de informação o algoritmo de raiz quadrada explicado acima por imagens é baseado no método da expansão polinomial.

Àqueles que conhecem VBA no EXCEL e desejam implementar o algoritmo acima numa função em VBA, eis o código que implementei numa planilha EXCEL:

  Public Function RootNth(ByVal radicand As Double, ByVal degree As Long, Optional ByRef remainder As Double = 0) As Double
     Dim countDigits As Long, digit As Long, potency As Double, minDigit As Long
     Dim maxDigit As Long, partialRadicand As String, totalRadicand As String
     Dim partialRemainder As String, radicandDigit As String
         
     radicand = Int(radicand)
     degree = Abs(degree)
     RootNth = 0
     partialRadicand = ""
     totalRadicand = CStr(radicand)
     countDigits = Len(totalRadicand) Mod degree
     countDigits = IIf(countDigits = 0, degree, countDigits)
     Do While totalRadicand <> ""
        radicandDigit = Left(totalRadicand, countDigits)
        partialRadicand = partialRadicand + radicandDigit
        totalRadicand = Mid(totalRadicand, countDigits + 1)
        countDigits = degree
        If RootNth = 0 Then
           minDigit = 0
           maxDigit = 9
           Do While minDigit <= maxDigit
              digit = Int((minDigit + maxDigit) / 2)
              potency = (RootNth * 10 + digit) ^ degree
              If potency = Val(partialRadicand) Then
                 maxDigit = digit
                 Exit Do
              End If
              If potency < Val(partialRadicand) Then
                 minDigit = digit + 1
              Else
                 maxDigit = digit - 1
              End If
           Loop
        Else
           partialRemainder = CStr(remainder) + radicandDigit
           maxDigit = Int(Val(partialRemainder) / (degree * 10 ^ (degree - 1) * RootNth ^ (degree - 1)))
           If maxDigit > 9 Then
              maxDigit = 9
           End If
           If (RootNth * 10 + maxDigit) ^ degree > Val(partialRadicand) Then
              maxDigit = maxDigit - 1
           End If
        End If
        RootNth = RootNth * 10 + maxDigit
        remainder = Val(partialRadicand) - RootNth ^ degree
     Loop
     
  End Function
  

Contribuição de João da Rocha Labrego

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Leonhard Euler. 'Institutiones calculi differentialis' (em Latin). [S.l.: s.n.], 1755.

Ver também[editar | editar código-fonte]