Raiz cúbica

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Representação gráfica da função: y =

Em ciências e matemática a raiz cúbica de um número (expressa como ou ), é o valor numérico tal que, ao ser multiplicado três vezes por si mesmo, dá como resultado . Por exemplo, a raiz cúbica de 27 é 3, já que .

Em geral, um número real possui três raízes cúbicas, uma correspondente a um número real, e as outras duas a números complexos. Assim, as raízes cúbicas de 8 são:

A operação de calcular a raiz cúbica de um número é uma operação associativa com a potenciação e distributiva com a multiplicação e divisão, mas não é associativa ou distributiva com a soma ou a subtração.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

As raízes cúbicas de um número são números que satisfazem a equação

Números reais[editar | editar código-fonte]

Se x e y são reais, então existe uma única solução tal que a equação tem apenas uma única solução, e esta corresponde a um número real. Se é empregada esta definição, a raiz cúbica de um número negativo é também um número negativo. Desta forma o princípio da raiz cúbica de x é representada igualmente por:

Se x e y são ambos complexos, então se pode dizer que possui três soluções (se x não é nulo) e assim x tem três raízes cúbicas: uma raiz real e duas complexas, na forma de par conjugado. Este facto deixa interessantes resultados dentro das matemática.

Por exemplo, as raízes do número um são:

Estas duas raízes se relacionam com todas as outras raízes cúbicas de outros números. Se um número é raiz cúbica de um número real as raízes cúbicas podem ser calculadas multiplicando o número pelas raízes da raiz cúbica de um.

Números complexos[editar | editar código-fonte]

Para os números complexos, o valor principal das raízes cúbicas se define como:

Onde ln(x) é o logaritmo natural. Se é escrito x como

Onde r é um número real positivo e cai no intervalo:

,

então a raiz cúbica é

.

Isto significa que em coordenadas polares ao tomar a raiz cúbica de um número complexo se está tomando a raiz cúbica do raio e o ângulo polar está sendo dividido em três partes de tal forma que define as três raízes. Com esta definição, a raiz cúbica de um número negativo é um número complexo, e por exemplo não será -2, senão . Naqueles programas que aceitam resultados imaginários (tais como Mathematica), o gráfico da raiz cúbica de x no plano dos números reais dará como resultados valores negativos da raiz por igual..

A raiz cúbica em uma calculadora de mão[editar | editar código-fonte]

Procedente da seguinte identidade:

,

Existe um método simples para poder calcular a raiz cúbica de um número em uma calculadora não-científica, o qual requer só as operações aritméticas de multiplicação e raiz quadrada. Não se requer além disso a memória. Se descreve a seguir:

  • Pressiona-se o botão de raiz quadrada, duas vezes.
  • Pressiona-se o botão de multiplicação.
  • Pressiona-se o botão de raiz quadrada duas vezes.
  • Pressiona-se o botão de multiplicação.
  • Pressiona-se o botão de raiz quadrada quatro vezes.
  • Pressiona-se o botão de multiplicação.
  • Pressiona-se o botão de raiz quadrada oito vezes.
  • Pressiona-se o botão de multiplicação...

O processo é continuado até que número que apareça no visor permaneça sem alterar-se, isto ocorre devido a que tem que aparecer 1 ou um número tal que 0,9999999... (isto significa que se tenha chegado ao limite da precisão da calculadora). Neste momento se pressiona o botão de raiz quadrada uma vez mais e o número que aparece no visor corresponderá a melhor aproximação que a calculadora pode proporcionar da raiz cúbica do número original. No método anterior se substitui a primeira multiplicação por uma divisão, sem modificar o restante do algoritmo, no lugar de averiguar a raiz cúbica se averigua a raiz quinta.

Cálculo manual da raiz cúbica[editar | editar código-fonte]

Igualmente como com as raízes quadradas, existe também uma operação que, ainda que muito pouco utilizada por haver métodos mais simples para resolvê-las, serve para obter o resultado da raiz cúbica de um número dado, a operação é a seguinte:

————————|
  1331  |11
 -1     |——————————————
 ——     |300·1²·3= 900
  0331  | 30·1·3²= 270
  -331  |      3³=  27
  ————  |         ————
   000  |         1197
        |se passa de 331
        |
        |300·1²·2= 600
        | 30·1·2²= 120
        |      2³=   8
        |         ————
        |          728  
        |se passa de 331
        |
        |300·1²·1= 300
        | 30·1·1²=  30
        |      1³=   1
        |          ———
        |          331
        |é igual ou menor
        |a 331

Explicação da operação:

  1. Separam-se os dígitos de 3 em 3 da direita para a esquerda à direita da vírgula se não tem decimais e se os tem então as cifras decimais são separadas de 3 em 3 da esquerda para a direita.
  2. Procura-se um número cujo cubo seja igual ou menor (se é menor sempre a cifra mais alta possível sem chegar a ultrapassá-lo) à primeira cifra ou conjunto de cifras que se encontram primeiro (à esquerda).
  3. À primeira cifra ou conjunto de cifras se lhe resta esse número cujo cubo é igual ou menor ao primeiro conjunto de cifras, e põe-se esse resultado baixando-se ao lado o seguinte grupo de três cifras.

Fórmula Luderiana Racional para Extração de Raiz Cúbica[editar | editar código-fonte]

A raiz cúbica de um número complexo (com aproximadamente 6 casas decimais de precisão) pode ser calculada pela seguinte fórmula - descoberta por Ludenir Santos do estado de Rio Grande do Sul:


Onde:

, para todo k complexo diferente de "0".

Observe que c, k, z são valores conhecidos.

c é o radicando, ou seja, o número para o qual desejamos saber a raiz cúbica;

k é a base do cubo perfeito mais próximo de c;

Da igualdade, , tem-se:


Logo,

O valor de z deve ser o mais próximo possível de "1".

k não precisa ser, obrigatoriamente, um inteiro. A fim de tornar z mais próximo de "1" pode-se trabalhar com k racional.

Exemplos:

a)

Como então

Aplicando-se o valor de "z" na fórmula luderiana (acima), tem-se:


Por tratar-se de raiz cúbica, existem mais duas raízes que iremos calcular através das seguintes fórmulas:



Portanto,


Estimando o valor de "k" para Reais

Separe os digitos do radicando em grupos de 3 digitos, do final para o início.

Encontre a raiz cúbica aproximada, apenas para o 1o grupo.

Para cada um dos demais grupos, adotar zero.


No exemplo podemos considerar


O "3" substitui o 1o grupo porque é a base do cubo perfeito mais próximo de "33", ou seja,

Um "0" para substituir o 2o grupo que, no caso, é "143"

Outro "0" para substituir o 3o grupo que, no caso, é "428".


Estimando o valor de "k" para Imaginários

Seja o complexo então ...

1) Sobre o valor absoluto de "k":

Somar os valores absolutos de e , ou seja, nesta soma deve-se desconsiderar os sinais de e ...

A estimativa será a base do cubo perfeito mais proximo desta soma.

2) Sobre o sinal de "k":

O sinal de "k" é será igual ao sinal do maior termo do complexo , ou seja, se |a| for maior que |b| então adotar o sinal de "a" senão adotar o sinal de "b".


b)

Estimando o valor de k ...

Valor:

Sinal:

Como |b|>|a| então k receberá o sinal de "b".

é positivo.

Como então

Aplicando-se o valor de "z" na fórmula luderiana (acima), tem-se:

Como o valor de "k" foi estimado então precisamos reaplicar a fórmula:

então

Aplicando-se o valor de "z" na fórmula luderiana (acima), tem-se:

Por tratar-se de raiz cúbica, existem mais duas raízes que iremos calcular através das seguintes fórmulas:


Portanto,



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