Raiz da velocidade quadrática média

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A raiz da velocidade quadrática média é uma medida da velocidade de uma partícula num gás. A mesma se expressa mediante a fórmula:

v_{rms} = \sqrt {{{3RT}}\over{M_m}}

onde vrms é a raiz da média quadrática da velocidade, Mm é a massa molar do gás, R é a constante universal dos gases perfeitos, e T é a temperatura em Kelvin.

Para a dedução dessa fórmula, considera-se um recipiente fechado cúbico de arestas de comprimento L, e uma molécula de gás com massa m e velocidade v.

Recipiente cúbico com uma molécula de gás.

Tem-se que o sentido da velocidade vx da molécula é perpendicular a uma das paredes, e que as colisões com a parede são elásticas. O momento transferido para a parede em uma colisão é dado por:


\Delta p_x = (-m.v_x) - (m.v_x) = -2.m.v_x

Devemos considerar que a molécula se choca contra uma das paredes do recipiente a cada intervalo Δt. Como o espaço percorrido é 2L, a uma velocidade vx, temos que   \Delta t = {2L \over v_x}
.

Com a união dessas duas relações, obtém-se a variação do momento em relação ao tempo:

 {\Delta p \over \Delta t } = {m v_x^2 \over L} = F_x

Que, pela segunda lei de Newton , é a força perpendicular a uma das paredes. Dividindo a força somada de todas moléculas pela área, obtemos a pressão sobre aquela parede.

 P = {F_x \over L^2} = {m \over L^3} (v^2_{x1}+v^2_{x2}+...+v^2_{xN}) , onde N é o número de moléculas dentro do cubo.

Sabendo que N = n.N_A, onde N_A é o número de Avogadro e n é o número de mols, a soma das velocidades individuais pode ser substituida pela velocidade de 1 mol de moléculas x Número de Avogadro:

P = {m n N_A \over L^3}(v^{2}_{x}){med}

Com L^{3} sendo o volume V e m.N_A sendo a massa molar M, e considerando que todas as moléculas do recipiente tem movimentos em direções aleatórias, ou seja,  V^{2}_x = V^{2}_y = V^{2}_z = {1 \over 3}.V^{2}, podemos simplificar a pressão para:

P = {n M \over 3V}(v^{2}){med}

Finalmente, isolando v^2_{med} = v^2_{rms}em função das outras variáveis e substituindo PV com a Lei dos gases ideais (PV=nRT), obtemos a equação da velocidade quadrática média para gases ideais[1] :


v_{rms} = \sqrt {{{3RT}}\over{M_m}}


Este conceito é muito adequado tanto para o caso de gases com comportamento próximos de gases ideais como o hélioe o oxigénio diatómico. Podemos expressar a raiz da velocidade média quadrática em função da constante de Boltzmann:

v_{rms} = \sqrt {{{3kT}}\over{m}}

onde m é a massa do gás.

Utilizando o Princípío de Lei da conservação da energia:

E_\mathrm{k} = {{3}\over{2}}nRT = \frac{3}{2}NkT

onde Ek é a energia cinética e No número de moléculas do gás.

E_\mathrm{k,molecula} = {{1}\over{2}}mv^2

Dado que v² não considera a direcção do movimento, é lógico assumir que a fórmula pode ser estendida a toda a amostra, substituindo m pela massa de toda a amostra, ou seja a massa molar multiplicada pelo número de moles, "nM", resultando:

{{1}\over{2}}nMv^2 = E_\mathrm{k}

Portanto:

v_\mathrm{rms} = \sqrt {{2E_\mathrm{k}}\over{m}}

o qual é equivalente.

Um exemplo importante onde é necessário conhecer as velocidades de um gás é a Distribuição de Maxwell-Boltzmann, e têm aplicações como o estudo de partículas de alta velocidade na superfície do sol e na superfície de um lago, por exemplo.

Distribuições de densidade de probabilidade da velocidade molecular de quatro gases nobres a uma temperatura de 298,15 K (25 °C). Os quatro gases são hélio (4He), néon (20Ne), argon (40Ar) y xénon (132Xe); os subíndices indicam os seus números de massa.

Referências

  1. HALLIDAY & RESNICK, Jearl Walker. Fundamentos da física: Gravitação, ondas e termodinâmica. Nona Ed. Rio de Janeiro - RJ ed. [S.l.]: LTC, 2012. ISBN 9788521619048

Ver também[editar | editar código-fonte]