Raiz da velocidade quadrática média

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Text document with red question mark.svg
Este artigo ou secção contém fontes no fim do texto, mas que não são citadas no corpo do artigo, o que compromete a confiabilidade das informações. (desde junho de 2015)
Por favor, melhore este artigo inserindo fontes no corpo do texto quando necessário.
Distribuições de densidade de probabilidade da velocidade molecular de quatro gases nobres a uma temperatura de 298,15 K (25 °C). Os quatro gases são hélio (4He), néon (20Ne), argon (40Ar) y xénon (132Xe); os subíndices indicam os seus números de massa.

A raiz da velocidade quadrática média é uma medida da velocidade de uma partícula num gás. A mesma se expressa mediante a fórmula:

onde vrms é a raiz da média quadrática da velocidade, Mm é a massa molar do gás, R é a constante universal dos gases perfeitos, e T é a temperatura em Kelvin.

Para a dedução dessa fórmula, considera-se um recipiente fechado cúbico de arestas de comprimento L, e uma molécula de gás com massa m e velocidade v.

Tem-se que o sentido da velocidade vx da molécula é perpendicular a uma das paredes, e que as colisões com a parede são elásticas. O momento transferido para a parede em uma colisão é dado por:


Devemos considerar que a molécula se choca contra uma das paredes do recipiente a cada intervalo Δt. Como o espaço percorrido é 2L, a uma velocidade vx, temos que .

Com a união dessas duas relações, obtém-se a variação do momento em relação ao tempo:


Recipiente cúbico com uma molécula de gás.

Que, pela segunda lei de Newton , é a força perpendicular a uma das paredes. Dividindo a força somada de todas moléculas pela área, obtemos a pressão sobre aquela parede.

, onde N é o número de moléculas dentro do cubo.

Sabendo que , onde é o número de Avogadro e é o número de mols, a soma das velocidades individuais pode ser substituida pela velocidade de 1 mol de moléculas x Número de Avogadro:


Com sendo o volume V e sendo a massa molar M, e considerando que todas as moléculas do recipiente tem movimentos em direções aleatórias, ou seja, , podemos simplificar a pressão para:


Finalmente, isolando = em função das outras variáveis e substituindo PV com a Lei dos gases ideais (), obtemos a equação da velocidade quadrática média para gases ideais[1]:




Este conceito é muito adequado tanto para o caso de gases com comportamento próximos de gases ideais como o hélio e o oxigénio diatómico. Podemos expressar a raiz da velocidade média quadrática em função da constante de Boltzmann:

onde m é a massa de uma molécula do gás.

Utilizando o Princípío de Lei da conservação da energia:

onde Ek é a energia cinética e No número de moléculas do gás.

Dado que v² não considera a direcção do movimento, é lógico assumir que a fórmula pode ser estendida a toda a amostra, substituindo m pela massa de toda a amostra, ou seja a massa molar multiplicada pelo número de moles, "nM", resultando:

Portanto:

o qual é equivalente.

Um exemplo importante onde é necessário conhecer as velocidades de um gás é a Distribuição de Maxwell-Boltzmann, e têm aplicações como o estudo de partículas de alta velocidade na superfície do sol e na superfície de um lago, por exemplo.

Referências

  1. Fundamentos da física: Gravitação, ondas e termodinâmica Nona Ed. Rio de Janeiro - RJ ed. [S.l.]: LTC. 2012. ISBN 9788521619048  |nome1= sem |sobrenome1= em Authors list (ajuda)

Ver também[editar | editar código-fonte]