Raiz da velocidade quadrática média

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A raiz da velocidade quadrática média é uma medida da velocidade de uma partícula num gás. A mesma se expressa mediante a fórmula:

onde vrms é a raiz da média quadrática da velocidade, Mm é a massa molar do gás, R é a constante universal dos gases perfeitos, e T é a temperatura em Kelvin.

Para a dedução dessa fórmula, considera-se um recipiente fechado cúbico de arestas de comprimento L, e uma molécula de gás com massa m e velocidade v.

Recipiente cúbico com uma molécula de gás.

Tem-se que o sentido da velocidade vx da molécula é perpendicular a uma das paredes, e que as colisões com a parede são elásticas. O momento transferido para a parede em uma colisão é dado por:


Devemos considerar que a molécula se choca contra uma das paredes do recipiente a cada intervalo Δt. Como o espaço percorrido é 2L, a uma velocidade vx, temos que .

Com a união dessas duas relações, obtém-se a variação do momento em relação ao tempo:


Que, pela segunda lei de Newton , é a força perpendicular a uma das paredes. Dividindo a força somada de todas moléculas pela área, obtemos a pressão sobre aquela parede.

, onde N é o número de moléculas dentro do cubo.

Sabendo que , onde é o número de Avogadro e é o número de mols, a soma das velocidades individuais pode ser substituida pela velocidade de 1 mol de moléculas x Número de Avogadro:


Com sendo o volume V e sendo a massa molar M, e considerando que todas as moléculas do recipiente tem movimentos em direções aleatórias, ou seja, , podemos simplificar a pressão para:


Finalmente, isolando = em função das outras variáveis e substituindo PV com a Lei dos gases ideais (), obtemos a equação da velocidade quadrática média para gases ideais[1] :




Este conceito é muito adequado tanto para o caso de gases com comportamento próximos de gases ideais como o hélio e o oxigénio diatómico. Podemos expressar a raiz da velocidade média quadrática em função da constante de Boltzmann:

onde m é a massa do gás.

Utilizando o Princípío de Lei da conservação da energia:

onde Ek é a energia cinética e No número de moléculas do gás.

Dado que v² não considera a direcção do movimento, é lógico assumir que a fórmula pode ser estendida a toda a amostra, substituindo m pela massa de toda a amostra, ou seja a massa molar multiplicada pelo número de moles, "nM", resultando:

Portanto:

o qual é equivalente.

Um exemplo importante onde é necessário conhecer as velocidades de um gás é a Distribuição de Maxwell-Boltzmann, e têm aplicações como o estudo de partículas de alta velocidade na superfície do sol e na superfície de um lago, por exemplo.

Distribuições de densidade de probabilidade da velocidade molecular de quatro gases nobres a uma temperatura de 298,15 K (25 °C). Os quatro gases são hélio (4He), néon (20Ne), argon (40Ar) y xénon (132Xe); os subíndices indicam os seus números de massa.

Referências

  1. Fundamentos da física: Gravitação, ondas e termodinâmica Nona Ed. Rio de Janeiro - RJ ed. LTC [S.l.] 2012. ISBN 9788521619048.  |nome1= sem |sobrenome1= em Authors list (Ajuda)

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