Rearranjo simétrico decrescente

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Em matemática, o rearranjo simétrico decrescente de uma função real definida em Rn é uma função radialmente simétrica e decrescente, cujos superconjuntos de nível têm a mesma medida dos respectivos superconjuntos de nível da função original.


Definições para conjuntos[editar | editar código-fonte]

Dado um conjunto mensurável A, o rearranjo simétrico de A, denotado A*, é a bola centrada na origem cuja medida é igual à medida de A: [1][2]

onde o r é dado por

aqui é a medida da bola unitária.

Definição para funções[editar | editar código-fonte]

O rearranjo simétrico decrescente de um a função não-negativa, mensurável é definido como [1][2]

Esta definição é motivada pela seguinte identidade, conhecida como representação bolo de camadas:

vávlida para funções não-negativas.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

A função é radialmente simétrica e decrescente e seus superconjuntos de nível possuem a mesma medida dos superconjuntos de nível de f: [1][2]

Se é uma função em , então

A desigualdade de Hardy-Littlewood estabelece que [1][2]

A desigualdade de Szego estabelece que se e se , então [2]

O rearranjo simétrico decrescente preserva ordem: [2]

e reduz a distância em : [2]


Referências

  1. a b c d Lieb, Elliott H., & Loss, Michael (2001). Analysis Second ed. (Providence, RI: American Mathematical Society). ISBN 0-8218-2783-9. 
  2. a b c d e f g Burchard, Almut. A Short Course on Rearrangement Inequalities (PDF) [S.l.: s.n.]