Redução de ordem

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O método da redução de ordem é utilizado para se determinar a solução de uma equação diferencial ordinária e homogênea de segunda ordem.[1]

Suponha que seja conhecida uma solução , não identicamente nula, de

. (1)


Para encontrar uma segunda solução, seja

(2)


então,

e


Substituindo essas expressões para e na equação (1) e unindo os termos, encontramos:


.


A equação acima é, de fato, uma equação de primeira ordem para a função e pode ser resolvida como uma equação de primeira ordem ou como uma equação separável. Assim, uma vez encontrada , é obtida por integração.

Finalmente, a solução é determinada da equação (2). Este procedimento é chamado método da redução de ordem, já que o passo crucial é a resolução de uma equação diferencial de primeira ordem para em vez da equação de segunda ordem original para .[2]


2× + y= 6

Dado que é uma solução de


(3)
,


encontrar uma segunda solução linearmente independente.[3]

Vamos fazer , então:

,
.


Substituindo e na equação (3) e unindo os termos, obtemos:

(4)


Note que o coeficiente de v é nulo, como deveria. Separando as variáveis na equação (4) e resolvendo para v'(t), encontramos:

;


então,

.


Segue que

,


onde c e k são constantes arbitrárias. A segunda parcela desta última equação é um múltiplo de e pode ser retirada, mas a primeira parcela nos dá uma solução nova independente. Desprezando a constante multiplicativa, temos:

.


Referências

  1. E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. (Rio de Janeiro: LTC). p. 91. ISBN 978-85-216-1499-9. 
  2. E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. (Rio de Janeiro: LTC). p. 93. ISBN 978-85-216-1499-9. 
  3. E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. (Rio de Janeiro: LTC). p. 94. ISBN 978-85-216-1499-9. 

Ver também[editar | editar código-fonte]