Redução de ordem

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O método da redução de ordem é utilizado para se determinar a solução de uma equação diferencial ordinária e homogênea de segunda ordem.1

Suponha que seja conhecida uma solução y_{1}(t)\,, não identicamente nula, de

y''+p(t)y'+q(t)y=0\,. (1)


Para encontrar uma segunda solução, seja

y=v(t)y_{1}(t)\, (2)


então,

y'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y'_{1}(t)\,

e

y''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y'_{1}(t)+v(t)y''_{1}(t)\,


Substituindo essas expressões para y, y' e y'' na equação (1) e unindo os termos, encontramos:


y_{1}v''+(2y'_{1}+py_{1})v'+(y''_{1}+py'_{1}+qy_{1})v=0\,.


A equação acima é, de fato, uma equação de primeira ordem para a função v' e pode ser resolvida como uma equação de primeira ordem ou como uma equação separável. Assim, uma vez encontrada v', v é obtida por integração.

Finalmente, a solução y é determinada da equação (2). Este procedimento é chamado método da redução de ordem, já que o passo crucial é a resolução de uma equação diferencial de primeira ordem para v' em vez da equação de segunda ordem original para y.2


Exemplo[editar | editar código-fonte]

Dado que y_{1}(t)=t^{-1}\, é uma solução de


2t^{2}y''+3ty'-y=0\, (3)
t>0,


encontrar uma segunda solução linearmente independente.3

Vamos fazer y=v(t)t^{-1}\,, então:

y'=v't^{-1}-vt^{-2}\,,
y''=v''t^{-1}-2v't^{-2}+2vt^{-3}\,.


Substituindo y, y' e y'' na equação (3) e unindo os termos, obtemos:

2t^{2}(v''t^{-1}-2v't^{-2}+2vt^{-3})+3t(v't^{-1}-vt^{-2})-vt^{-1}\,
=2tv''+(-4+3)v'+(4t^{-1}-3t^{-1}-t^{-1})v\,
=2tv''-v'\,
=0 (4)


Note que o coeficiente de v é nulo, como deveria. Separando as variáveis na equação (4) e resolvendo para v'(t), encontramos:

v'(t)=ct^{1/2};


então,

v(t)=\frac{2}{3}ct^{3/2}+k.


Segue que

y=\frac{2}{3}ct^{1/2}+kt^{-1},


onde c e k são constantes arbitrárias. A segunda parcela desta última equação é um múltiplo de y_{1} e pode ser retirada, mas a primeira parcela nos dá uma solução nova independente. Desprezando a constante multiplicativa, temos:

y_{2}=t^{1/2}.


Referências

  1. E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C.. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno (em português). oitava ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. p. 91. ISBN 978-85-216-1499-9
  2. E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C.. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno (em português). oitava ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. p. 93. ISBN 978-85-216-1499-9
  3. E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C.. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno (em português). oitava ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. p. 94. ISBN 978-85-216-1499-9

Ver também[editar | editar código-fonte]