Reductio ad absurdum

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Reductio ad absurdum (latim para "redução ao absurdo"[1], provavelmente originário do grego ἡ εις άτοπον απαγωγη, transl. e eis átopon apagoge, que significaria algo próximo a "redução ao impossível", expressão frequentemente usada por Aristóteles), também conhecida como um argumento apagógico, reductio ad impossibile ou, ainda, prova por contradição, é um tipo de argumento lógico no qual alguém assume uma ou mais hipóteses e, a partir destas, deriva uma consequência absurda ou ridícula, e então conclui que a suposição original deve estar errada. O argumento se vale do princípio da não-contradição (uma proposição não pode ser, ao mesmo tempo, verdadeira e falsa) e do princípio do terceiro excluído (uma proposição é verdadeira ou é falsa, não existindo uma terceira possibilidade).

Descrição[editar | editar código-fonte]

Na lógica formal, reductio ad absurdum é usado quando uma contradição formal pode ser derivada de uma premissa, o que permite que alguém possa concluir que a premissa é falsa. Se uma contradição é derivada de uma série de premissas, isso mostra que pelo menos uma das premissas é falsa, mas outros meios devem ser utilizados para determinar qual delas.

Um exemplo de raciocínio dedutivo por redução ao absurdo foi a elegante prova matemática da irracionalidade da raiz quadrada de 2 apresentada por Aristóteles em Analytica Priora[2]. Supondo que exista uma raiz racional de 2, e que ela possa ser expressa na forma a/b, é possível demonstrar que b deve ser par, e também que deve ser ímpar. Sendo absurda a hipótese de um número ser ao mesmo tempo par e ímpar, conclui-se que a raiz não pode ser expressa por um número racional.

Reductio ad absurdum também é usado muitas vezes para descrever um argumento no qual uma conclusão é derivada de uma crença que todos (ou pelo menos aqueles que argumentam contrariamente) aceitarão como falsa ou absurda. No entanto, essa é uma forma débil de redução, uma vez que a decisão de rejeitar a premissa requer que a conclusão seja aceita como absurda. Embora uma contradição formal seja, por definição, absurda (inaceitável), um argumento reductio ad absurdum simplório pode ser rejeitado simplesmente aceitando-se propositadamente a conclusão absurda, pois ela por si própria deixará transparecer o seu teor paradoxal.

Há uma concepção errônea comum de que reductio ad absurdum simplesmente denota um "argumento bobo" e é por si só uma falácia lógica. Contudo, isso não é correto. Uma redução ao absurdo apropriadamente estruturada constitui um argumento válido.

Na lógica matemática[editar | editar código-fonte]

A tabela de verdade da implicação é descrita da seguinte forma numa lógica binária (em que 1 = Verdade, 0 = Falso):[3]

 a   b  a ⇒ b
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

Na implicação a ⇒ b usam-se as designações:

  • a é denominada hipótese;
  • b é denominada tese.

A demonstração da tese é fundamentada pela hipótese, por uma sequência de passos lógicos.

Se a hipótese for falsa, então qualquer tese pode ser demonstrada, porque por definição, a implicação é verdadeira sempre que se usa uma premissa falsa.

No entanto a hipótese falsa pode servir para as "demonstrações por absurdo".

Com efeito partindo de uma hipótese a e deduzindo uma tese falsa b=0 (por contradição é ¬a, porque (a∧¬a)≡0) isso significa

a ⇒ 0

e aqui aplica-se a regra Modus tollens. Ou seja, admite-se que a dedução foi correta, logo a implicação é verdadeira, ou seja,

(a ⇒ 0) é verdade = 1,

mas consultando a tabela, vemos que a ⇒ 0 é 1 só quando a=0.

Portanto, deduzindo uma contradição de a, resulta que a negação de a é verdadeira, em lógica binária.

Hipótese com várias hipóteses[editar | editar código-fonte]

Por abuso de linguagem, falam-se em hipóteses quando a hipótese a resulta de conjunção de duas (ou mais) partes

a = s ∧ h

onde as hipóteses s são as regras assumidas axiomaticamente, ou por aí deduzidas, e apenas a parte h é a nova hipótese a ser testada.

Nesse caso, sabemos que a=0 se e só se s = 0 ou h = 0. Portanto, assumindo que s = 1, então é a nova hipótese que é necessariamente falsa, h = 0.

Cálculo proposicional[editar | editar código-fonte]

No cálculo proposicional da lógica matemática, a redução ao absurdo pode expressar-se da seguinte forma:[4]

o que significa que se de um sistema (lista de axiomas, ou suas deduções) ao juntar a hipótese , deduzimos e também , então nesse sistema infere-se (o que corresponde ao mesmo descrito anteriormente).


Referências

  1. A prova por redução ao absurdo na lógica clássica, por Maria da Paz Nunes de Medeiros. Princípios, vol. 2, Nº. 2, 1995. Dept. de Filosofia UFRN. ISSN 0104-8694. Acessada em 10-07-2011.
  2. Raiz quadrada de 2, na Wikipedia em inglês
  3. Lógica Matemática Grupo de Matemática da Universidade Técnica de Lisboa, 2004
  4. Reductio ad absurdum. S.Yu. Maslov (originator), Encyclopedia of Mathematics.Springer/EMS.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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