Regra do paralelogramo

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Um paralelogramo. Os lados estão desenhados em azul e as diagonais em vermelho.

Na matemática, a regra do paralelogramo (ou identidade do paralelogramo) é uma propriedade de geometria que relaciona a soma do quadrado dos lados de um paralelogramo com a soma do quadrado de suas diagonais. Essa propriedade pode ser generalizada para qualquer espaço vetorial munido de um produto interno e, em particular, para um espaço euclidiano.

Usando a notação do diagrama à direita, os lados são denotados (AB), (BC), (CD), (DA). Em geometria Euclidiana, um paralelogramo tem os lados opostos iguais, de forma que (AB) = (CD) e (BC) = (DA). Assim, a lei pode ser expressa como

No caso em que o paralelogramo é um retângulo, as duas diagonais têm comprimentos iguais (AC) = (BD). Nesse caso, a identidade se reduz ao teorema de Pitágoras:

Identidade do paralelogramo em espaços com produto interno[editar | editar código-fonte]

Em um espaço vetorial munido de um produto interno, uma norma pode ser definida a partir do produto interno:

Como consequência dessa definição, em um espaço vetorial munido de um produto interno, a identidade do paralelogramo é resultado de manipulações algébricas do produto interno.

Sejam x e y elementos desse espaço vetorial, então:

Adicionando essas expressões, estabelecemos a identidade do paralelogramo

Se x e y são ortogonais nesse espaço, então e a equação acima se reduz à

que corresponde ao teorema de Pitágoras.

Espaços vetoriais normados satisfazendo a identidade do paralelogramo[editar | editar código-fonte]

Um fato remarcável é que pode se definir um produto interno para um espaço vetorial normado sobre R que satisfaz a identidade do paralelogramo. A demonstração desse fato é uma consequência diretas das identidades de polarização. Para espaços de Banach complexos, demonstra-se o mesmo resultado a partir do Teorema de Von Neumann - Jordan[1].

Referências

  1. «The Jordan-Von Neumann Theorem» (PDF). Consultado em 6 de maio de 2012. 
Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.