Relação de Stifel

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Em matemática, a relação de Stifel[1] , também conhecida como regra de Pascal[2] , é uma identidade envolvendo coeficientes binomiais:

Para quaisquer naturais tais que

Demonstração algébrica[editar | editar código-fonte]

Não há segredos na relação de Stifel. É possível demonstrá-la recorrendo-se apenas a definição dos símbolos , que denotam os coeficientes binomiais, e efetuando umas poucas manipulações algébricas:

Contudo, mesmo sendo esta demonstração algébrica elementar, há uma outra demonstração que, do ponto de vista da elegância, é certamente mais atraente:

Demonstração combinatória[editar | editar código-fonte]

Alternativamente a demonstração algébrica oferecida, a relação de Stifel possui uma conhecida demonstração combinatória:

Seja um conjunto finito não-vazio com elementos. O número de subconjuntos de que possuem elementos é justamente , isto é,

Por outro lado, destacando um elemento , podemos determinar o cardinal de uma maneira alternativa, procedendo como segue:

  • Contamos o número de subconjuntos de com elementos que possuem , isto é, determinamos
  • Contamos o número de subconjuntos de com elementos que não possuem , isto é, determinamos
  • Somamos os dois números. Seguirá então, pelo argumento de dupla contagem, que

Agora, como , segue que

e

donde ganha-se a relação.

Generalização para coeficientes multinomiais[editar | editar código-fonte]

A relação de Stiefel, que é uma afirmação sobre coeficientes binomiais, pode ser estendida para coeficientes multinomiais:

Para quaisquer naturais tais que , para cada e

No caso em que , fazendo a identificação temos que implica . Assim, usando as identificações

e

recupera-se imediatamente a relação de Stifel para coeficientes binomiais.

Demonstração: Sejam um natural e naturais tais que , para cada índice , e . Então

Ver também[editar | editar código-fonte]

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. em referência a Michael Stifel (1487 — 1567), matemático alemão
  2. em referência a Blaise Pascal (1623 — 1662), matemático francês

Referências[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]