Relação de ordem

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Em matemática e em lógica matemática, especialmente em teoria dos conjuntos e em teoria das relações, uma relação de ordem é uma relação binária que pretende captar o sentido intuitivo de relações como o maior e o menor o anterior e o posterior e etc. Foram definidos muitos tipos de relações de ordem e diferentes obras usam os termos "ordem" e "relação de ordem" de maneiras diversas, pelo qual existe uma ambiguidade na literatura. Os tópicos "relações de ordens" estão fortemente vinculados ao conjunto parcialmente ordenado.

Definições básicas[editar | editar código-fonte]

Definição 1: Ordem parcial ampla ou não estrita[editar | editar código-fonte]

Dado um conjunto e uma relação binária sobre dizemos que é uma relação de ordem (parcial) ampla (ou não estrita) sobre se satisfaz as seguintes condições[1]:

1.a Reflexividade:[editar | editar código-fonte]

(ou seja, todo elemento está relacionado consigo mesmo);

1.b Antissimetria:[editar | editar código-fonte]

e

1.c Transitividade:[editar | editar código-fonte]

Quando uma relação satisfaz as condições acima, é escrito como A relação habitual de menor ou igual em conjuntos numéricos, , , , , cumpre com essas condições explicando essa notação.

Um exemplo típico é a relação de inclusão (ampla) entre conjuntos: geralmente definida sobre o conjunto das partes de Um outro exemplo é a relação " divide ": seja o conjunto dos números naturais maiores que zero. Para dizemos que divide , em símbolos se e somente se existe um tal que Pode ser demonstrado que a relação "divide" assim definida satisfaz as condições da Definição 1.

Definição 2: Ordem parcial estrita[editar | editar código-fonte]

Dado um conjunto e uma relação binária sobre dizemos que é uma relação de ordem (parcial) estrita sobre se satisfaz transitividade e:

2.a Irreflexividade:[editar | editar código-fonte]

(ou seja, nenhum elemento está relacionado consigo mesmo)

Se uma relação satisfaz transitividade e irreflexividade, pode ser demonstrado que também satisfaz:

2.b Assimetria:[editar | editar código-fonte]

Analogamente, pode ser demonstrado que se uma relação satisfaz transitividade e assimetria, então também satisfaz irreflexividade, fornecendo uma definição alternativa de ordem parcial estrita, preferida por alguns autores.

Quando uma relação é uma relação de ordem parcial estrita, é escrito como

Um conjunto que possui uma relação de ordem é chamado de conjunto parcialmente ordenado.

Em contextos não matemáticos é mais comum utilizar as ordens em sentido estrito. Por exemplo, dizemos que João é mais alto que Pedro no sentido que a altura de João é estritamente maior que a de Pedro. Também pode ser verificado que a relação " é antepassado de " também é uma ordem estrita.

Definição 3: Correspondência entre ordens estritas e amplas[editar | editar código-fonte]

Dada uma ordem estrita ou uma ordem ampla, pode ser definida a outra ordem correspondente, segundo:[2]

3.a Correspondência:[editar | editar código-fonte]

Relações de ordem linear ou total[editar | editar código-fonte]

Dada um relação dizemos que são incomparáveis, se e somente se nem Uma relação de ordem linear ou total não têm elementos incomparáveis.

Definição 4: Totalidade ou linearidade[editar | editar código-fonte]

Sendo uma relação sobre no caso de uma ordem ampla, a totalidade (linearidade) está dada por:

4.a Totalidade ou linearidade (para ordens amplas):[editar | editar código-fonte]

Também denominado "dicotomia".

No caso das ordens estritas:

4.b Totalidade ou linearidade (para ordens estritas):[editar | editar código-fonte]

Também denominado "tricotomia", pois pode ser escrito equivalentemente:

As ordens dos conjuntos numéricos, , , , são lineares. Dado um conjunto com dois ou mais elementos, o conjunto das partes de não está linearmente ordenado por inclusão .

Relações de ordem densa[editar | editar código-fonte]

A ideia intuitiva de densidade de uma ordem corresponde a conceber que entre dois elementos comparáveis existe uma quantidade infinita de elementos.

Definição 5: Densidade[editar | editar código-fonte]

Uma relação de ordem estrita, parcial ou total, é denominada densa se entre dois elementos sempre existe um outro:

5 Densidade (para ordens estritas)[editar | editar código-fonte]

Inversa de uma ordem[editar | editar código-fonte]

Se uma relação é uma ordem estrita, então a relação inversa de

também é uma relação de ordem estrita. A inversa de "" é geralmente escrita "". De maneira análoga, para uma relação de ordem ampla "" pode ser definida a sua inversa "", que também é uma relação de ordem ampla.

A pesar dessa propriedade ser denominada às vezes de "dualidade", não é uma dualidade em sentido estrito, como a que possuem as álgebras de Boole.

Elementos distinguidos numa ordem[editar | editar código-fonte]

Alguns elementos de um conjunto ordenado podem ser caraterizados usando a relação de ordem. Apesar das definições abaixo serem expressadas somente para ordens amplas, "", ou estritas, "", definições correspondentes podem ser estabelecidas usando Definição 3.

Mínimo e máximo[editar | editar código-fonte]

Dada uma relação de ordem ampla sobre um conjunto um elemento é denominado mínimo ou primeiro elemento se e somente se:

De maneira simétrica, é denominado máximo ou último elemento se e somente se:

O conjunto tem mínimo, mas não tem máximo. Os conjuntos , e não têm nem máximo, nem mínimo. O intervalo

tem mínimo 0 e máximo 1. Dado um conjunto e considerando a ordem inclusão, , o conjunto , das partes de tem mínimo é máximo Se um conjunto tem mínimo, então tem um único mínimo. O mesmo vale para o máximo.

Minimal e maximal[editar | editar código-fonte]

Dada uma relação de ordem estrita sobre um conjunto um elemento é denominado minimal quando não existe outro elemento que seja menor que ele:

Analogamente, um elemento de um conjunto parcialmente ordenado é maximal quando não existe outro elemento que seja maior que ele:

Cotas inferior (minorante) e superior (majorante)[editar | editar código-fonte]

Um elemento é uma cota inferior ou minorante de um subconjunto se e somente se:

Um elemento é uma cota superior ou majorante de um subconjunto se e somente se:

Às vezes os elementos acima são denominados de limite inferior e limite superior, mas este conceito não deve ser confundido com o de limite de uma sequência.

Se consideramos o intervalo então qualquer é cota inferior do intervalo e qualquer é cota superior.

Boa ordem[editar | editar código-fonte]

Uma relação de ordem estrita sobre um conjunto é denominada uma boa ordem se e somente se todo subconjunto não vazio de tem primeiro elemento segundo Em símbolos, uma relação "" sobre é uma boa ordem se e somente se:

Um conjunto com uma relação de boa ordem é denominado bem ordenado. Por exemplo, é bem ordenado pela relação natural desse conjunto (ver Princípio da boa-ordenação), mas e não são, segundo as suas ordens naturais. O conceito de boa ordem é importante para definir matematicamente os números ordinais em teoria dos conjuntos.

Uma boa ordem é sempre uma ordem linear, pois se para consideramos o conjunto ele tem primeiro elemento, de modo que ou ou

Referências

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • BIRKHOFF, Garrett (1948). Lattice Theory (em inglês) (New York: American Mathematical Society). 
  • DAVEY, B.A.; PRIESTLEY, H.A (2002). Introduction to Lattices and Order (em inglês) 2nd. ed. (Cambridge: Cambridge University Press). ISBN 978-0-521-78451-1. 
  • FRAÏSSÉ, Roland (2000). Theory of Relations (em inglês) 1rst. (revised) ed. (Amsterdam: Elsevier). ISBN 0-444-50542-3. 
  • ROMAN, Steven (2008). Lattices and Ordered Sets (em inglês) (New York: Springer). ISBN 978-0-387-78900-2. 
  • ROSENSTEIN, Joseph G (1982). Linear Orderings (em inglês) 2nd. ed. (New York: Academic Press). ISBN 0-12-597680-1. 

Ver também[editar | editar código-fonte]