Relação transitiva

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Disambig grey.svg Nota: Para outros significados de transitividade, veja Transitividade.

Na matemática, relação transitiva é a que se estabelece entre três elementos de um mesmo conjunto de tal forma que se o primeiro tem relação com o segundo e este tem relação com um terceiro, então o primeiro elemento tem relação com o terceiro.[1]

Se tomarmos um conjunto, e uma endorrelação de , (ou seja, , dizemos que é transitiva se satisfazer a seguinte condição: , se

Em termos de teoria dos conjuntos, a relação transitiva pode ser definido como uma relação binária sobre um conjunto é transitiva se, sempre que um elemento de está relacionado a um elemento de , e é relacionado a um elemento de , então também está relacionado com . A transitividade é uma propriedade chave de ambos os conjunto parcialmente ordenado e de relações de equivalência.

Por exemplo, "é maior que", é pelo menos tão grande quanto " e "é igual a" (igualdade) são relações transitivas:

  • sempre que e , então a também
  • sempre que e , então a também
  • sempre que e , então a também .

Por outro lado, "é a mãe de" não é uma relação transitiva, porque se Alice é a mãe de Brenda, Brenda é a mãe de Claire, em seguida, Alice não é a mãe de Claire. Na verdade é não transitivo: Alice pode nunca ser a mãe de Claire. Então, novamente, em biologia, muitas vezes precisamos considerar a maternidade através de um número arbitrário de gerações: a relação "é um matrilinearidade ancestral". Esta é uma relação transitiva. Mais precisamente, é o fechamento transitivo da relação "é a mãe".

Mais exemplos de relações transitivas são "é um subconjunto de" (conjunto de inclusão); "divide" (divisibilidade); "implica" (implicação).

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Fechamento de propriedades[editar | editar código-fonte]

O inverso de uma relação transitiva é sempre transitivo: por exemplo, sabendo que "é um subconjunto de" é transitiva e "é um superconjunto de" é o inverso, pode-se concluir que o último é transitiva.

A intersecção de duas relações transitivas é sempre transitivo: sabendo que "nasceu antes" e "tem o mesmo primeiro nome como" são transitórias, podemos concluir que "nasceu antes e também tem o mesmo primeiro nome que" é também transitória.

A união de duas relações transitivas não é sempre transitória. Por exemplo, "nasceu antes ou tem o mesmo primeiro nome como" geralmente não é uma relação transitiva.

O complemento de uma relação transitiva não é sempre transitória. Por exemplo, enquanto "igual a" é transitiva, "não é igual a" é apenas transitória em conjuntos com mais de um elemento.

Outras propriedades[editar | editar código-fonte]

Uma relação transitiva é assimétrica , se e somente se ela é relação reflexiva.

Propriedades que necessitam de transitividade[editar | editar código-fonte]

Contagem[editar | editar código-fonte]

Nenhuma fórmula geral que conta o número de relações transitivas em um conjunto finito (sequência A006905 na OEIS) é conhecido.[2] No entanto, não existe uma fórmula para achar o número de relações que são, simultaneamente, reflexiva, simétrica e transitiva – em outras palavras, relações de equivalência – (sequência A000110 na OEIS), aqueles que são simétricas e transitivas, aqueles que são simétricas, transitivas, e anti simétrica, e aqueles que são total, transitória, e anti simétrica. Pfeiffer[3] tem feito alguns progressos neste sentido, expressando relações com combinações dessas propriedades em termos de cada um dos outros, mas ainda calcular é bastante difícil. Consulte também.[4]

Referências

  1. Relações. Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
  2. Steven R. Finch, "Relações transitivas, topologias e ordens parcias", 2003.
  3. Götz Pfeiffer, "Contagem de Relações Transitivas", Journal of Integer Sequências, Vol. 7 (2004), o Artigo 04.3.2.
  4. Gunnar Brinkmann e Brendan D. McKay,"Contagem sem marcações da topologia e relações transitivas"

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Ralph P. Grimaldi, Matemática Combinatória e Discreta, ISBN 0-201-19912-2.
  • Gunther Schmidt, 2010. Matemática Relacional. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.
  • GERSTING, J. L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. 3ª. edição. Editora LTC. Rio de Janeiro, 1995.
  • ROSS, K. A. & WRIGHT, C. R. B.. Matemáticas Discretas. 2ª. edição. Editora. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. México, 1990.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]