Relação transitiva

 Nota: Para outros significados de transitividade, veja Transitividade.

Na matemática, relação transitiva é a que se estabelece entre três elementos de um mesmo conjunto de tal forma que se o primeiro tem relação com o segundo e este tem relação com um terceiro, então o primeiro elemento tem relação com o terceiro.

Se tomarmos $A$ um conjunto, e $R$ uma endorrelação de $A$, (ou seja, $R\subseteq A\times A$, dizemos que $R$ é transitiva se satisfizer a seguinte condição: $(\forall a\in A)(\forall b\in A)(\forall c\in A)$, se $(a,b)\in R\wedge (b,c)\in R\Longrightarrow (a,c)\in R$

Em termos de teoria dos conjuntos, a relação transitiva pode ser definido como uma relação binária $R$ sobre um conjunto $X$ é transitiva se, sempre que um elemento de $a$ está relacionado a um elemento de $b$, e $b$ é relacionado a um elemento de $c$, então $a$ também está relacionado com $c$. A transitividade é uma propriedade chave de ambos os conjunto parcialmente ordenado e de relações de equivalência.

Por exemplo, "é maior que", é pelo menos tão grande quanto " e "é igual a" (igualdade) são relações transitivas:

• sempre que $A>B$ e $B>C$, então a também $A>C$
• sempre que $A\geq B$ e $B\geq C$, então a também $A\geq C$
• sempre que $A=B$ e $B=C$, então a também $A=C$.

Por outro lado, "é a mãe de" não é uma relação transitiva, porque se Alice é a mãe de Brenda, Brenda é a mãe de Claire, em seguida, Alice não é a mãe de Claire. Na verdade é não transitivo: Alice pode nunca ser a mãe de Claire. Então, novamente, em biologia, muitas vezes precisamos considerar a maternidade através de um número arbitrário de gerações: a relação "é um matrilinearidade ancestral". Esta é uma relação transitiva. Mais precisamente, é o fechamento transitivo da relação "é a mãe".

Mais exemplos de relações transitivas são "é um subconjunto de" (conjunto de inclusão); "divide" (divisibilidade); "implica" (implicação).

Propriedades

Fechamento de propriedades

O inverso de uma relação transitiva é sempre transitivo: por exemplo, sabendo que "é um subconjunto de" é transitiva e "é um superconjunto de" é o inverso, pode-se concluir que o último é transitiva.

A intersecção de duas relações transitivas é sempre transitivo: sabendo que "nasceu antes" e "tem o mesmo primeiro nome como" são transitórias, podemos concluir que "nasceu antes e também tem o mesmo primeiro nome que" é também transitória.

A união de duas relações transitivas não é sempre transitória. Por exemplo, "nasceu antes ou tem o mesmo primeiro nome como" geralmente não é uma relação transitiva.

O complemento de uma relação transitiva não é sempre transitória. Por exemplo, enquanto "igual a" é transitiva, "não é igual a" é apenas transitória em conjuntos com mais de um elemento.

Outras propriedades

Uma relação transitiva é assimétrica , se e somente se ela é relação reflexiva.

Propriedades que necessitam de transitividade

• Pré-ordem — relação reflexiva e relação transitiva
• Ordem parcial — uma relação antissimétrica pré-ordem
• Total pré-ordem — uma relação total de pré-ordem
• Equivalência — uma relação simétrica pré-ordem
• Ordem fraca — uma ordem restrita parcialmente incompatível é uma relação de equivalência
• Total ordenação — uma relação total, relação antissimétrica, relação transitiva

Contagem

Nenhuma fórmula geral que conta o número de relações transitivas em um conjunto finito (sequência A006905 na OEIS) é conhecido. No entanto, não existe uma fórmula para achar o número de relações que são, simultaneamente, reflexiva, simétrica e transitiva – em outras palavras, relações de equivalência – (sequência A000110 na OEIS), aqueles que são simétricas e transitivas, aqueles que são simétricas, transitivas, e anti simétrica, e aqueles que são total, transitória, e anti simétrica. Pfeiffer tem feito alguns progressos neste sentido, expressando relações com combinações dessas propriedades em termos de cada um dos outros, mas ainda calcular é bastante difícil. Consulte também.

Bibliografia

• Ralph P. Grimaldi, Matemática Combinatória e Discreta, ISBN 0-201-19912-2.
• Gunther Schmidt, 2010. Matemática Relacional. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.
• GERSTING, J. L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. 3ª. edição. Editora LTC. Rio de Janeiro, 1995.
• ROSS, K. A. & WRIGHT, C. R. B.. Matemáticas Discretas. 2ª. edição. Editora. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. México, 1990.

Ligações externas

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Transitivity», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
• «A transitividade em Ação» (em inglês). no corte-a-nó