Relatividade geral

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Simulação de computador em câmera lenta do par de buracos negros que deu origem à onda gravitacional GW150914, visto por um observador próximo por 0,33 segundos apresentando seu movimento espiral, fusão e estado final. O campo de estrelas atrás dos buracos negros foi fortemente distorcido e parece girar e se mover, devido à lente gravitacional extrema, já que o espaço-tempo em si é distorcido e arrastado pelos buracos negros rotativos.[1]

Teoria da relatividade geral ou simplesmente relatividade geral é uma teoria geométrica da gravitação publicada por Albert Einstein em 1915[2] e a descrição atual da gravitação na física moderna. É um conjunto de hipóteses que generaliza a relatividade especial e a lei da gravitação universal de Newton, fornecendo uma descrição unificada da gravidade como uma propriedade geométrica do espaço e do tempo, ou espaço-tempo. Em particular, a "curvatura do espaço-tempo" está diretamente relacionada à energia e ao momento de qualquer matéria e radiação presente. A relação é especificada pelas equações de campo de Einstein, um sistema de equações diferenciais parciais.

Muitas previsões da relatividade geral diferem significativamente das da física clássica, especialmente no que respeita à passagem do tempo, a geometria do espaço, o movimento dos corpos em queda livre, e a propagação da luz. Exemplos de tais diferenças incluem a dilatação gravitacional do tempo, o desvio gravitacional para o vermelho da luz, e o tempo de atraso gravitacional. Previsões da relatividade geral foram confirmadas em todas as observações e experimentos até o presente. Embora a relatividade geral não seja a única teoria relativística da gravidade, é a mais simples das teorias que são consistentes com dados experimentais. No entanto, há questões ainda sem resposta, sendo a mais fundamental delas explicar como a relatividade geral pode ser conciliada com as leis da física quântica para produzir uma teoria completa e auto-consistente da gravitação quântica.

A teoria de Einstein tem importantes implicações astrofísicas. Ela aponta para a existência de buracos negros — regiões no espaço onde o espaço e o tempo são distorcidos de tal forma que nada, nem mesmo a luz, pode escapar — como um estado final para estrelas maciças. Há evidências de que esses buracos negros estelares, bem como outras variedades maciças de buracos negros são responsáveis pela intensa radiação emitida por certos tipos de objetos astronômicos, tais como núcleos ativos de galáxias ou microquasares. O desvio da luz pela gravidade pode levar ao fenômeno de lente gravitacional, onde várias imagens do mesmo objeto astronômico distante são visíveis no céu. A relatividade geral também prevê a existência de ondas gravitacionais, que já foram medidas indiretamente; uma medida direta, no final de 2015, por pesquisadores do projeto LIGO (Observatório de Ondas Gravitacionais por Interferômetro Laser) confirmou as "distorções no espaço e no tempo" causadas por um par de buracos negros com 30 massas solares em processo de fusão.[3][4][5][6] Além disso, a relatividade geral é a base dos atuais modelos cosmológicos de um universo sempre em expansão. Foi descrita por cientistas notáveis — como Lev Landau, Steven Weinberg e Wolfgang Pauli — como a mais bela de todas as teorias físicas existentes.[7][8]

História[editar | editar código-fonte]

Logo depois de publicar a teoria da relatividade especial em 1905, Einstein começou a pensar sobre como incorporar a gravidade em sua nova estrutura relativista. Em 1907, começando com um simples experimento mental envolvendo um observador em queda livre, embarcou no que seria uma busca de oito anos por uma teoria relativística da gravidade. Após inúmeros desvios e falsos começos, seu trabalho culminou na apresentação à Academia de Ciências da Prússia, em novembro de 1915, do que hoje são conhecidas como equações de campo de Einstein. Essas equações especificam como a geometria do espaço e do tempo é influenciada por qualquer matéria e radiação presentes e formam o núcleo de sua teoria da relatividade geral.[9]

Einstein em 1931

As equações de campo de Einstein são não-lineares e muito difíceis de resolver. Einstein usou métodos de aproximação na elaboração das previsões iniciais da teoria. Mas já em 1916, o astrofísico Karl Schwarzschild encontrou a primeira solução não trivial exata para as equações de campo, a métrica de Schwarzschild. Esta solução estabeleceu as bases para a descrição das etapas finais do colapso gravitacional e os objetos conhecidos hoje como buracos negros. No mesmo ano, foram realizados os primeiros passos para a generalização da métrica de Schwarzschild para objetos carregados eletricamente, o que acabou resultando na métrica de Reissner-Nordström, agora associada a buracos negros carregados eletricamente.[10] No ano seguinte, Einstein aplicou sua teoria ao universo como um todo, iniciando o campo da cosmologia relativista. Em consonância com o pensamento contemporâneo, assumiu um universo estático, adicionando um novo parâmetro às suas equações de campo originais — a constante cosmológica — para combinar com essa presunção observacional.[11] Em 1929, no entanto, o trabalho de Edwin Powell Hubble e outros mostrava que o nosso universo está se expandindo. Isto é prontamente descrito pelas soluções cosmológicas em expansão encontradas por Alexander Friedmann em 1922, que não exigem uma constante cosmológica. Georges Lemaître usou essas soluções para formular a versão mais antiga dos modelos do Big Bang, em que nosso universo evoluiu a partir de um estado anterior extremamente quente e denso.[12] Einstein declarou mais tarde a constante cosmológica como o maior erro de sua vida.[13]

Durante esse período, a relatividade geral permaneceu como uma curiosidade entre as teorias físicas. Era claramente superior à gravidade newtoniana, sendo consistente com a relatividade especial e contabilizando vários efeitos inexplicados pela teoria clássica. O próprio Einstein havia mostrado em 1915 como sua teoria explicava o progresso anormal do periélio do planeta Mercúrio sem quaisquer parâmetros arbitrários.[14] Da mesma forma, uma expedição de 1919 liderada por Arthur Stanley Eddington confirmou a previsão da relatividade geral para a deflexão da luz das estrelas pelo Sol durante o eclipse solar total de 29 de maio,[15] tornando Einstein instantaneamente famoso.[16] No entanto, a teoria tornou-se consolidada na física teórica e na astrofísica apenas com os desenvolvimentos por volta de 1960 e 1975, agora conhecidos como a era dourada da relatividade geral.[17] Físicos começaram a entender o conceito de buraco negro e a identificar quasares como uma das manifestações astrofísicas desses objetos.[18] Testes cada vez mais precisos com o sistema solar confirmaram o poder preditivo teórico,[19] e a cosmologia relativística também se tornou passível de testes de observação direta.[20]

Da mecânica clássica à relatividade geral[editar | editar código-fonte]

A relatividade geral pode ser entendida examinando suas semelhanças e desvios da física clássica. O primeiro passo é a compreensão de que a mecânica clássica e a lei da gravidade de Newton admitem uma descrição geométrica. A combinação dessa descrição com as leis da relatividade especial resulta em uma derivação heurística da relatividade geral.[21]

Princípio da Relatividade Geral[editar | editar código-fonte]

De acordo com a relatividade geral, objetos num campo gravitacional se comportam de maneira semelhante a objetos dentro de um envoltório em aceleração. Por exemplo, um observador verá uma bola cair da mesma forma em um foguete (esquerda) como na Terra (à direita), desde que a aceleração do foguete seja igual a 9.8 m/s2 (a aceleração devido à gravidade na superfície da Terra)

Na base da mecânica clássica está a noção de que o movimento de um corpo pode ser descrito como uma combinação de movimento livre (ou inercial) e desvios desse movimento livre. Tais desvios são causados por forças externas que agem sobre um corpo de acordo com a segunda lei de Newton, que afirma que a força resultante que atua sobre um corpo é igual à massa desse corpo (inercial) multiplicada por sua aceleração.[22] Os movimentos inerciais preferidos estão relacionados à geometria do espaço e do tempo: nos referenciais padrões da mecânica clássica, objetos em movimento livre se movem ao longo de linhas retas em velocidade constante. Na linguagem moderna, seus caminhos são geodésicos, linhas de universo retas no espaço-tempo curvo.[23]

Por outro lado, pode-se esperar que os movimentos inerciais, uma vez identificados observando os movimentos reais dos corpos e fazendo concessões para as forças externas (como eletromagnetismo ou atrito), possam ser usados para definir a geometria do espaço, bem como uma coordenada de tempo. No entanto, existe uma ambiguidade, uma vez que a gravidade entra em jogo. De acordo com a lei da gravidade de Newton, e verificada independentemente por experimentos como o de Eötvös e seus sucessores (veja experimento de Eötvös), há uma universalidade de queda livre (também conhecida como princípio da equivalência fraca, ou a igualdade universal da massa inercial e gravitacional passiva): a trajetória de um corpo de teste em queda livre depende apenas de sua posição e velocidade inicial, mas não de suas propriedades materiais.[24] Uma versão simplificada disso é incorporada na "experiência do elevador" de Einstein, ilustrada na figura à direita: para um observador numa pequena sala fechada, é impossível decidir, mapeando a trajetória de corpos como uma bola solta, se a sala está em repouso em um campo gravitacional ou em espaço livre a bordo de um foguete que está acelerando a um taxa igual à do campo gravitacional.[25]

Dada a universalidade da queda livre, não há distinção observável entre movimento inercial e movimento sob a influência da força gravitacional. Isso sugere a definição de uma nova classe de movimento inercial, a saber, a dos objetos em queda livre sob a influência da gravidade. Essa nova classe de movimentos preferidos também define uma geometria de espaço e tempo; em termos matemáticos, é o movimento geodésico associado a uma conexão específica que depende do gradiente do potencial gravitacional. O espaço, nessa construção, ainda possui a convencional geometria euclidiana. No entanto, o espaço-tempo como um todo é mais complicado. Como pode ser mostrado usando experimentos de pensamento simples seguindo as trajetórias de queda livre de diferentes partículas de teste, o resultado do transporte de vetores de espaço-tempo que podem denotar a velocidade de uma partícula variará com a trajetória da mesma; matematicamente falando, a conexão newtoniana não é integrável. A partir disso, pode-se deduzir que o espaço-tempo é curvo. A teoria de Newton-Cartan resultante é uma formulação geométrica da gravidade newtoniana usando apenas conceitos covariantes, ou seja, uma descrição que é válida em qualquer sistema de coordenadas desejado.[26] Nessa descrição geométrica, os efeitos de maré — a aceleração relativa de corpos em queda livre — estão relacionados à derivada da conexão, mostrando como a geometria modificada é causada pela presença de massa.[27]

Generalização relativista[editar | editar código-fonte]

Por mais intrigante que a gravidade geométrica newtoniana possa ser, sua base, a mecânica clássica, é meramente um caso limitante da mecânica relativista (especial).[28] Na linguagem da simetria: onde a gravidade pode ser desprezada, a física é uma invariante de Lorentz como na relatividade especial, e não uma invariante de Galileu como na mecânica clássica. (A definição de simetria da relatividade especial é o grupo de Poincaré, que inclui traduções, rotações e reforços.) As diferenças entre os dois tornam-se significativas quando se trata de velocidades que se aproximam da velocidade da luz e com fenômenos de alta energia.[29]

Com a simetria de Lorentz, estruturas adicionais entram em jogo. Elas são definidas pelo conjunto de cones em luz (ver imagem). Os cones de luz definem uma estrutura causal: para cada evento A, há um conjunto de eventos que podem, em princípio, influenciar ou ser influenciado por A por meio de sinais ou interações que não precisam viajar mais rápido que a luz (como o evento B na imagem) e um conjunto de eventos para os quais tal influência é impossível (como o evento C na imagem). Esses conjuntos são independentes do observador.[30] Em conjunto com a linha do espaço de partículas que caem livremente, os cones de luz podem ser usados para reconstruir a métrica semi-riemanniana do espaço-tempo, pelo menos até um fator escalar positivo. Em termos matemáticos, isso define uma estrutura conformada ou uma geometria conforme.[31]

Relatividade especial é definida na ausência de gravidade, portanto, para aplicações práticas, é um modelo adequado sempre que a gravidade pode ser desprezada. Colocando a gravidade em jogo, e assumindo a universalidade da queda livre, aplica-se um raciocínio análogo como na seção anterior: não há quadros inerciais globais. Em vez disso, existem quadros inerciais aproximados que se movem ao lado de partículas que caem livremente. Traduzido para a linguagem do espaço-tempo: as linhas retas que definem um referencial inercial livre de gravidade são deformadas para linhas curvas em relação umas às outras, sugerindo que a inclusão da gravidade requer uma mudança na geometria do espaço-tempo.[32]

A priori, não está claro se os novos quadros locais em queda livre coincidem com os referenciais nos quais as leis da relatividade especial são válidas — essa teoria é baseada na propagação da luz e, portanto, no eletromagnetismo, que poderia ter um conjunto diferente de quadros preferidos. Mas, usando diferentes suposições sobre os quadros especiais-relativísticos (como ser fixado na terra ou em queda livre), pode-se derivar previsões diferentes para o desvio para o vermelho gravitacional, isto é, a maneira pela qual a frequência de luz se desloca à medida que a luz se propaga através de um campo gravitacional. As medições reais mostram que os quadros de queda livre são aqueles em que a luz se propaga como na relatividade especial.[33] A generalização dessa afirmação, a saber, que as leis da relatividade restrita mantêm uma boa aproximação em referenciais de queda livre (e não rotativos), é conhecida como princípio da equivalência de Einstein, um princípio orientador crucial para generalizar a física relativista especial para incluir a gravidade.[34]

Os mesmos dados experimentais mostram que o tempo medido por relógios num campo gravitacional — tempo próprio, para dar o termo técnico — não segue as regras da relatividade especial. Na linguagem da geometria do espaço-tempo, ela não é medida pela métrica de Minkowski. Como no caso newtoniano, isso sugere uma geometria mais geral. Em escalas pequenas, todos os referenciais que estão em queda livre são equivalentes e aproximadamente minkowskianos. Consequentemente, estamos lidando agora com uma generalização curva do espaço de Minkowski. O tensor métrico que define a geometria — em particular, como os comprimentos e os ângulos são medidos — não é a métrica de Minkowski da relatividade especial, é uma generalização conhecida como métrica semi ou pseudoriemanniana. Além disso, cada métrica riemanniana é naturalmente associada a um tipo particular de conexão, a conexão de Levi-Civita, e esta é, de fato, a conexão que satisfaz o princípio da equivalência e torna o espaço localmente minkowskiano (isto é, em inerciais coordenadas localmente adequadas, a métrica é minkowskiana, e suas primeiras derivadas parciais e os coeficientes de conexão desaparecem).[35]

Equações de Einstein[editar | editar código-fonte]

Tendo formulado a versão relativista e geométrica dos efeitos da gravidade, a questão da fonte da gravidade permanece. Na gravidade newtoniana, a fonte é massa. Na relatividade especial, a massa acaba por ser parte de uma quantidade mais geral chamada de tensor de energia-momento, que inclui densidades de energia e de momento, bem como tensão: pressão e cisalhamento.[36] Usando o princípio da equivalência, este tensor é prontamente generalizado para o espaço-tempo curvo. Com base na analogia com a gravidade newtoniana geométrica, é natural supor que a equação de campo para a gravidade relaciona esse tensor com o tensor de Ricci, que descreve uma classe particular de efeitos de maré: a mudança de volume para uma pequena nuvem de partículas de teste que estão inicialmente em repouso e depois caem livremente. Na relatividade especial, a conservação de energia-momento corresponde à afirmação de que o tensor de energia-momento é livre de divergência. Essa fórmula também é prontamente generalizada para o espaço-tempo curvo, substituindo as derivadas parciais por suas contrapartes curvadas-múltiplas, derivadas covariantes estudadas na geometria diferencial. Com essa condição adicional — a divergência covariante do tensor energia-momento, e, portanto, de qualquer coisa que esteja do outro lado da equação, é zero — o conjunto mais simples de equações é chamado de equações (de campo) de Einstein:

Equações de campo de Einstein

Do lado esquerdo está o tensor de Einstein, uma combinação específica livre de divergência do tensor de Ricci e da métrica. Onde é simétrico. Em particular,

é a curvatura escalar. O próprio tensor de Ricci está relacionado com o tensor de curvatura de Riemann mais geral

Do lado direito, é o tensor energia-momento. Todos os tensores são escritos em notação de índices abstratos.[37] Combinando a previsão da teoria com resultados observacionais para órbitas planetárias ou, equivalentemente, assegurando que o limite de gravidade fraca e baixa velocidade é a mecânica newtoniana, a constante de proporcionalidade pode ser fixada como κ = 8πG/c4, com G a constante gravitacional e c a velocidade da luz.[38] Quando não há nenhuma matéria presente, de modo que o tensor de energia-momento desaparece, os resultados são as equações de vácuo de Einstein,

Alternativas à relatividade geral[editar | editar código-fonte]

Existem teorias alternativas à relatividade geral baseadas nas mesmas premissas, que incluem regras e/ou restrições adicionais, levando a diferentes equações de campo. Exemplos são a teoria de Whitehead, a teoria Brans-Dicke, o teleparalelismo, a gravidade de f(R) e a teoria de Einstein-Cartan.[39]

Definição e aplicações básicas[editar | editar código-fonte]

A derivação descrita na seção anterior contém todas as informações necessárias para definir a relatividade geral, descrever suas principais propriedades e abordar uma questão de importância crucial na física, ou seja, como a teoria pode ser usada para a construção de modelos.

Definição e propriedades básicas[editar | editar código-fonte]

A relatividade geral é uma teoria métrica da gravitação. Em seu cerne estão as equações de Einstein, que descrevem a relação entre a geometria de uma variedade pseudoriemanniana quadridimensional que representa o espaço-tempo e a energia-momento contida naquele espaço-tempo.[40] Fenômenos que na mecânica clássica são atribuídos à ação da força da gravidade (tais como queda livre, movimento orbital e trajetórias de espaçonaves), correspondem ao movimento inercial dentro de uma geometria curva do espaço-tempo na relatividade geral; não há força gravitacional desviando objetos de seus caminhos naturais e retos. Em vez disso, a gravidade corresponde a mudanças nas propriedades do espaço e do tempo, que por sua vez alteram os caminhos mais retos possíveis que os objetos seguirão naturalmente.[41] A curvatura é, por sua vez, causada pela energia-momento da matéria. Parafraseando o físico relativista norte-americano John Archibald Wheeler, o espaço-tempo diz à matéria como se mover; a matéria diz ao espaço-tempo como se curvar.[42]

Enquanto a relatividade geral substitui o potencial gravitacional escalar da física clássica por um tensor de grau-dois simétrico, o último reduz-se ao primeiro em certos casos limitantes. Para campos gravitacionais fracos e velocidade lenta em relação à velocidade da luz, as previsões da teoria convergem naquelas da lei de gravitação universal de Newton.[43]

Como é construída usando tensores, a relatividade geral exibe uma covariância geral: suas leis — e outras leis formuladas dentro do quadro geral relativista — assumem a mesma forma em todos os sistemas de coordenadas.[44] Além disso, a teoria não contém quaisquer estruturas de fundo geométricas invariantes, ou seja, é independência-fundo. Assim, satisfaz um princípio geral mais rigoroso da relatividade, ou seja, que as leis da física são as mesmas para todos os observadores.[45] Localmente, como expresso no princípio da equivalência, o espaço-tempo é minkowskiano, e as leis da física exibem a invariância local de Lorentz.[46]

Curvatura do espaço-tempo[editar | editar código-fonte]

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Uma analogia para a curvatura do espaço-tempo (2D) causada por uma massa. Uma analogia mais precisa, seria imaginar a parte vermelha em todos os eixos Y da imagem. A imagem representa somente um valor no vetor Y.

Imaginemos agora um observador no espaço profundo. Suponha que ele esteja parado, isto é, em um movimento geodésico que é uma linha reta diretamente para o futuro. Se agora colocarmos instantaneamente ao seu lado uma massa suficientemente grande, a deformação que esta massa causará no espaço-tempo em sua vizinhança irá curvar e alterar as coordenadas originais do espaço-tempo no local. O efeito é que aquele movimento que era apenas uma linha reta na direção temporal agora passará a ocorrer também nas novas coordenadas espaciais. A linha se curva e se enrola em torno do corpo enquanto ele se move na direção do tempo futuro. E nosso observador começa a se mover espacialmente devido à distorção da geometria causada pela massa, não devido à presença de uma força. Isto era o efeito que se costuma chamar de gravidade mas que, à luz desta teoria, é uma distorção da geometria do espaço-tempo devido à presença de uma massa.

Para ajudar a entender intuitivamente o conceito de curvatura do espaço-tempo por um objeto massivo é comum usar-se uma analogia com a deformação causada por uma bola pesada numa membrana elástica. (É evidentemente uma representação um tanto «fantasiosa», pois mostra apenas a curvatura espacial de um espaço de duas dimensões, sem levar em consideração o efeito do tempo.) Quanto maior for a massa do objeto, maior será a curvatura da membrana. Se colocarmos perto da cova criada um objeto mais leve, como uma bola de ping-pong, ela cairá em direção à bola maior. Se, em vez disso, atirarmos a bola de ping-pong a uma velocidade adequada em direção ao poço, ela ficará a "orbitar" em torno da bola pesada, desde que o atrito seja pequeno. E isto é, de algum modo, análogo ao que acontece quando a Lua orbita em torno da Terra, por exemplo.

Geódesica no espaço-tempo de uma partícula próxima a um corpo material

Na relatividade geral, os fenômenos que na mecânica clássica se considerava serem o resultado da ação da força da gravidade, são entendidos como representando um movimento inercial num espaço-tempo curvo. A massa da Terra encurva o espaço-tempo e isso faz com que tenhamos tendência para cair em direção ao seu centro.

O ponto essencial é entender que não existe nenhuma «força da gravidade» atuando à distância. Na relatividade geral, não existe ação à distância e a gravidade não é uma força mas sim uma deformação geométria do espaço encurvado pela presença nele de massa, energia ou momento. E uma geodésica é o caminho mais curto entre dois pontos, numa determinada geometria. É a trajetória que segue no espaço-tempo um objeto em queda livre, ou seja, livre da ação de forças externas. Por isso, a trajetória orbital de um planeta em volta de uma estrela é a projeção num espaço 3D de uma geodésica da geometria 4D do espaço-tempo em torno da estrela.

Se os objetos tendem a cair em direção ao solo é apenas devido à curvatura do espaço-tempo causada pela Terra. Quando um objeto foi lançado no ar, ele sobe e depois cai. Mas não é porque haja uma força a puxá-lo para baixo. Segundo Einstein, o objeto segue apenas uma geodésica num espaço-tempo curvo. Quando está no ar, não há nenhuma força a agir sobre ele, exceto a da resistência do ar. Se o vemos a acelerar, é porque, quando estamos parados em cima do solo, a nossa trajetória não segue uma «linha reta» (uma geodésica), porque há uma força que age sobre nós: a força do solo a puxar-nos para cima. Aquilo a que chamamos «força da gravidade» resulta apenas do fato de a superfície da Terra nos impedir de cair em queda-livre segundo a linha geodésica que a curvatura do espaço-tempo nos impõe. Aquilo a que chamamos «força da gravidade» é apenas o resultado de estarmos submetidos a uma aceleração física contínua causada pela resistência mecânica da superfície da Terra. A sensação de peso que temos resulta do fato de a superfície da Terra nos «empurrar para cima».

Uma pessoa que cai de um telhado de uma casa não sente, durante a queda, nenhuma força gravitacional. Sente-se «sem peso». Se largar um objeto, ele flutuará a seu lado, exatamente com a mesma aceleração constante (na ausência da resistência do ar).

Mas, como já se explicou, a analogia apresentada dificilmente se pode considerar uma boa representação do que realmente acontece. O exemplo que apresentamos anteriormente permite elucidar de um modo mais correto a curvatura do espaço-tempo, através de efeitos sobre as linhas geodésicas. Em cada ponto do espaço disparamos ou apenas soltamos uma pequena massa de prova e observamos a sua trajetória. De um ponto de seu referencial inercial dispare uma massa em cada um dos seus eixos de coordenadas espaciais e observe: obviamente, se elas continuarem indefinidamente em linha reta, você estará em um espaço-tempo plano (espaço de Minkowski). Caso contrário, as trajetórias poderão lhe dar informações sobre a curvatura na região. Esta é a melhor maneira pela qual podemos esperar descrever um objeto que possui 4 dimensões para seres que vivem em apenas 3 dimensões.

Matemática da relatividade geral[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Matemática da relatividade geral

Para estender as leis da física para o contexto de sistemas de coordenadas gerais, um extenso arsenal de ferramentas matemáticas deve ser dominado. Mesmo antes do advento da Relatividade Geral, na mecânica clássica, por exemplo, uma quantidade enorme de trabalhos foram desenvolvidos para se trabalharem os sistemas físicos em diversos sistemas de coordenadas: sistemas de coordenadas cartesianas, esféricas, cilíndricas, etc. Apesar dos nomes, nenhum destes sistemas de coordenadas utilizados na Física Matemática é geral o bastante para causar alteração na geometria. Eles são formas de se aproveitarem as simetrias do problema e ajudam, portanto, a simplificar a solução. Na Relatividade Geral precisamos estender este conhecimento para transformações de coordenadas que alterem a geometria do espaço-tempo. Para isto são necessárias uma síntese e uma generalização deste conhecimento matemático em um novo cálculo, o Cálculo Tensorial. Por sorte, esta síntese estava sendo criada pelo matemático Tullio Levi-Civita, baseando-se nos trabalhos anteriores de Hamilton e Gregorio Ricci-Curbastro, na mesma época em que Einstein iniciou seu trabalho na Relatividade Geral. De fato, Einstein aprendeu os conceitos diretamente de Levi-Civitta.

Com esta ferramenta nova, podemos generalizar o conceito de cálculo de intervalos do espaço-tempo, introduzindo o tensor métrico para o espaço-tempo:

A notação com índices, chamada notação clássica do cálculo tensorial, possui a convenção de que índices repetidos, um superior e outro inferior, representam uma soma no conjunto de índices. No nosso caso estes índices variam de 0 até 3 para representar o tempo (índice 0), e as coordenadas espaciais. Esta é a mesma expressão que obtivemos anteriormente se escrevermos o tensor da Relatividade Restrita de forma matricial como:

O ponto importante a se entender aqui é que, no espaço-tempo curvo, o tensor métrico não possui mais seus elementos constantes como acima. Eles passam a ser funções das coordenadas espaço-temporais que contêm informações sobre a geometria local. Mesmo assim, a expressão para o cálculo de intervalos ainda continua sendo escrita da mesma forma. E isto reflete a ideia básica do cálculo tensorial: permitir escrever quaisquer equações independentemente do sistema de coordenadas utilizado.

O Tensor métrico é a peça fundamental da teoria da Relatividade Geral e é um tensor simétrico, isto é . Isto significa que em vez de termos 16 componentes , temos apenas 10 componentes independentes.

O tensor métrico possui informações não só sobre como se calculam as distâncias, mas como se realizam outras operações geométricas em espaços curvos, como o transporte paralelo de vetores e outros objetos matemáticos. É através dele que se obtém a expressão para a curvatura do espaço-tempo e se obtém o Tensor de Einstein, utilizado na equação da Relatividade Geral, que sumariza a interação da geometria com a matéria:

onde é o tensor de Einstein, são as componentes do tensor de curvatura de Ricci, é a curvatura escalar, são as componentes do tensor métrico, é a Constante cosmológica, são as componentes do tensor de tensão-energia que descreve a matéria e energia em um dado ponto do espaço-tempo e é a Constante de gravitação, a mesma da lei de Newton da gravidade. O tensor de Ricci e a curvatura escalar são derivados do tensor métrico, como dito acima.

Soluções da equação de Einstein[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Equações de campo de Einstein

A primeira solução exata para a equação de Einstein foi proposta por Karl Schwarzschild na chamada Métrica de Schwarzschild, e é a solução para o caso de uma massa esférica estacionária, isto é, sem rotação da massa. Esta foi também a primeira solução que descreve um buraco negro.

Soluções da equação de Einstein são obtidas a partir de uma determinada métrica. Propor uma métrica correta é uma parte importante e difícil do problema. Estas são algumas das soluções conhecidas da Equação de Einstein:

  1. Métrica de Schwarzschild.
  2. Métrica de Kerr, que descreve o caso de uma massa girante esférica.
  3. Métrica de Reissner-Nordström, para o caso de uma métrica esférica com carga elétrica.
  4. Métrica de Kerr-Newman, para o caso de um massa girante com carga elétrica.
  5. Métrica de Friedmann-Robertson-Walker (FRW), usada em cosmologia como modelo de um universo em expansão.
  6. Métrica de Gödel, usada em cosmologia como modelo de um universo em rotação.
  7. Métrica de ondas-pp que descreve vários tipos de ondas gravitacionais.

As soluções (1), (2), (3) e (4) descrevem buracos negros.

Situação atual[editar | editar código-fonte]

A relatividade geral tem emergido como um modelo altamente bem-sucedido de gravitação e cosmologia, que até agora tem subsistido a cada prova inequívoca de observação e experimentação. Mesmo assim, há fortes indícios de que a teoria seja incompleta.[47] O problema da gravitação quântica e a questão da realidade da singularidade gravitacional permanecem abertos. Dados de observação que são tomados como prova de energia escura e matéria escura poderiam indicar a necessidade de uma nova física e, enquanto a chamada Anomalia das Pioneers ainda poderia admitir uma explicação convencional, ela também poderia ser um prenúncio de uma nova física.[48] Mesmo considerando essas questões, a relatividade geral é rica em possibilidades de exploração adicional. Matemáticos relativistas procuram entender a natureza das singularidades e das propriedades fundamentais das equações de Einstein,[49] e simulações de computador cada vez mais poderosas (como aquelas que descrevem fusão de buracos negros) são executadas.[50][51][52] Um século após a sua publicação, a relatividade geral continua a ser uma área muito ativa de investigação.[53]

Confirmação experimental[editar | editar código-fonte]

Diversos experimentos têm confirmado as previsões teóricas da relatividade geral. Em dezembro de 2018 foi anunciado mais um resultado: dois grupos que trabalharam de forma independente mediram o efeito do campo gravitacional em relógios atômicos. Os pesquisadores mediram ao longo de três anos a frequência de masers de hidrogênio a bordo de dois satélites do projeto Galileo lançados em 2014 que descrevem órbitas elípticas em torno da Terra. Ao determinarem como a frequência varia em função da altitude, foram capazes de obter um resultado que é 5,6 vezes melhor do que as medidas até então disponíveis.[54]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. «GW150914: LIGO Detects Gravitational Waves». black-holes.org (em inglês). Consultado em 29 de setembro de 2017 
  2. O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. (1996). «General relativity». Escola de Matemática e Estatística da Universidade de St. Andrews. Mathematical Physics Index. Consultado em 30 de setembro de 2017 
  3. Castelvecchi, Davide; Witze, Witze (11 de fevereiro de 2016). «Einstein's gravitational waves found at last». Nature News. doi:10.1038/nature.2016.19361. Consultado em 1 de fevereiro de 2016 
  4. B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration) (2016). «Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger». Physical Review Letters. 116 (6). doi:10.1103/PhysRevLett.116.061102 
  5. «Gravitational waves detected 100 years after Einstein's prediction | NSF - National Science Foundation». www.nsf.gov. Consultado em 11 de fevereiro de 2016 
  6. Overbye, Dennis (11 de fevereiro de 2016). «Physicists Detect Gravitational Waves, Proving Einstein Right». New York Times. Consultado em 11 de fevereiro de 2016 
  7. Landau, Lev Davidovich, ed. The classical theory of fields. Vol. 2. Elsevier, 2013, p. 245.
  8. «General relativity». Wikiquote (em inglês). Consultado em 7 de abril de 2018 
  9. Pais 1982, ch. 9 ao 15, Janssen 2005; um acervo atualizado de pesquisas atuais, incluindo reimpressões de muitos dos artigos originais, está em Renn 2007; uma visão geral acessível pode ser encontrada em Renn 2005, pp. 110ff. Os documentos originais de Einstein são encontrados em Digital Einstein, volumes 4 e 6. Um artigo chave inicial é Einstein 1907, cf. Pais 1982, ch. 9. A publicação com as equações de campo está em Einstein 1915, ch. Pais 1982, ch. 11–15
  10. Schwarzschild 1916a, Schwarzschild 1916b e Reissner 1916 (mais tarde complementado em Nordström 1918)
  11. Einstein 1917, cf. Pais 1982, ch. 15e
  12. O artigo original de Hubble é Hubble 1929; uma visão geral acessível é apresentada por Singh 2004, ch. 2–4
  13. Conforme relatado por Gamow 1970. A condenação de Einstein seria prematura, confronte pode ser visto na seção Cosmologia
  14. Pais 1982, pp. 253–254
  15. Kennefick 2005, Kennefick 2007
  16. Pais 1982, ch. 16
  17. Thorne, Kip (2003). The future of theoretical physics and cosmology: celebrating Stephen Hawking's 60th birthday. Cambridg: Cambridge University Press. ISBN 0-521-82081-2  Extract of page 74
  18. Israel 1987, ch. 7.8–7.10, Thorne 1994, ch. 3–9
  19. Veja as seções "Efeitos orbitais e a relatividade da direção", "Dilatação do tempo gravitacional e mudança de frequência" e "Deflexão da luz e atraso do tempo gravitacional", e suas referências.
  20. Seção Cosmologia e referências nela contidas; o desenvolvimento histórico está em Overbye 1999
  21. A exposição a seguir re-traça a de Ehlers 1973, seção 1
  22. Arnold 1989, ch. 1
  23. Ehlers 1973, pp. 5f
  24. Will 1993, seção 2.4, Will 2006, seção 2
  25. Wheeler 1990, ch. 2
  26. Ehlers 1973, seção 1.2, Havas 1964, Künzle 1972. O simples experimento mental em questão foi descrito pela primeira vez em Heckmann & Schücking 1959
  27. Ehlers 1973, pp. 10f
  28. Boas introduções são, em ordem crescente de conhecimento pressuposto de matemática, Giulini 2005, Mermin 2005 e Rindler 1991; para relatos de experimentos de precisão, cf. parte IV de Ehlers & Lämmerzahl 2006
  29. Uma comparação aprofundada entre os dois grupos de simetria pode ser encontrada em Giulini 2006a
  30. Rindler 1991, seção 22, Synge 1972, seção 1 e 2
  31. Ehlers 1973, seção 2.3
  32. Ehlers 1973, seção 1.4, Schutz 1985, seção 5.1
  33. Ehlers 1973, pp. 17ff; uma derivação pode ser encontrada em Mermin 2005, ch. 12. Para a evidência experimental, cf. a secção Dilatação do tempo gravitacional e mudança de frequência, abaixo.
  34. Rindler 2001, seção 1.13; para um relato elementar, veja Wheeler 1990, ch. 2; existem, no entanto, algumas diferenças entre a versão moderna e o conceito original de Einstein usado na derivação histórica da relatividade geral, cf. Norton 1985
  35. Ehlers 1973, seção 1.4 para a evidência experimental, veja mais uma vez a seção Dilatação do tempo gravitacional e mudança de frequência. Escolher uma conexão diferente com uma torção diferente de zero leva a uma teoria modificada conhecida como teoria de Einstein–Cartan.
  36. Ehlers 1973, p. 16, Kenyon 1990, seção 7.2, Weinberg 1972, seção 2.8
  37. Ehlers 1973, pp. 19–22; para derivações similares, ver seções 1 e 2 do cap. 7 em Weinberg 1972. O tensor de Einstein é o único tensor livre de divergência que é uma função dos coeficientes métricos, sua primeira e segunda derivadas no máximo, e permite que o espaço-tempo da relatividade especial seja uma solução na ausência de fontes de gravidade, confira Lovelock 1972. Os tensores de ambos os lados são de segunda ordem, ou seja, eles podem ser considerados como matrizes 4×4, cada um contendo dez termos independentes; portanto, o acima representa dez equações acopladas. O fato de que, como consequência de relações geométricas conhecidas como identidades de Bianchi, o tensor de Einstein satisfaz mais quatro identidades reduzindo estas a seis equações independentes, p. ex. Schutz 1985, seção 8.3
  38. Kenyon 1990, seção 7.4
  39. Brans & Dicke 1961, Weinberg 1972, seção 3 no cap. 7, Goenner 2004, seção 7.2, e Trautman 2006, respectivamente
  40. Wald 1984, capítulo 4, Weinberg 1972, capítulo 7 ou, de fato, qualquer outro livro sobre relatividade geral
  41. Pelo menos aproximadamente, cf. Poisson 2004
  42. Wheeler 1990, p. xi
  43. Wald 1984, sec. 4.4
  44. Wald 1984, sec. 4.1
  45. Para as dificuldades (conceituais e históricas) de definir um princípio geral de relatividade e separá-lo da noção de covariância geral, veja Giulini 2007
  46. Seção 5 do capítulo 12 de Weinberg 1972
  47. Cf. Maddox 1998, pp. 52–59 and 98–122; Penrose 2004, seção 34.1 e capítulo 30.
  48. Nieto 2006.
  49. Friedrich 2005
  50. Para uma análise dos diversos problemas e as técnicas desenvolvidas para superá-los, consulte Lehner 2002.
  51. Veja Bartusiak 2000 para um relato até 2000; notícias atualizadas podem ser encontradas nos sites que investigam as colaborações mais importantes tais como GEO 600 e LIGO.
  52. Para estudos científicos mais recentes sobre as polarizações das ondas gravitacionais de binários compactos, consulte Blanchet et al. 2008, e Arun et al. 2007; para uma revisão do trabalho em binários compactos, consulte Blanchet 2006 e Futamase & Itoh 2006; para uma revisão geral dos testes experimentais da relatividade geral, consulte Will 2006.
  53. Turyshev, S. G. (2008). «Experimental tests of general relativity». Annual Review of Nuclear and Particle Science. 58: 207-248 
  54. Rini, Matteo (4 de dezembro de 2018). «Satellite Mishap Provides Chance for Relativity Test» (em inglês). American Physical Society. Consultado em 9 de dezembro de 2018 

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Arun, K.G.; Blanchet, L.; Iyer, B. R.; Qusailah, M. S. S. (2007). «Inspiralling compact binaries in quasi-elliptical orbits: The complete 3PN energy flux». Arxiv 
  • Bartusiak, Marcia (2000). Einstein's Unfinished Symphony: Listening to the Sounds of Space-Time. Berkley: Joseph Henry Press. ISBN 978-0-425-18620-6 
  • Blanchet, L.; Faye, G.; Iyer, B. R.; Sinha, S. (2008). «The third post-Newtonian gravitational wave polarisations and associated spherical harmonic modes for inspiralling compact binaries in quasi-circular orbits». Arxiv 
  • Lehner, Luis (2002). «Numerical Relativity: Status and Prospects». Arxiv 
  • Penrose, Roger (1969). «Gravitational collapse: the role of general relativity». Rivista del Nuovo Cimento. 1: 252–276 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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