Representação Adjunta (álgebra de Lie)

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Disambig grey.svg Nota: Se procura a forma de representar os elementos do grupo como transformações lineares do grupo de álgebra de Lie, veja Representação adjunta (grupo de Lie).

Em matemática, o endomorfismo adjunto (ou ação adjunta} é um homomorfismo das álgebras de Lie que desempenha um papel fundamental no desenvolvimento da teoria das álgebras de Lie[1].

Dado um elemento de uma álgebra de Lie , define-se a ação adjunta de em como o mapa com

para todo em .

Representação adjunta da álgebra[editar | editar código-fonte]

O conceito gera a representação adjunta de um grupo de Lie . Na verdade, é precisamente o diferencial de no elemento identidade do grupo[2].

Seja uma álgebra de Lie sobre um campo de . Então o mapa linear

dado por é uma representação de uma álgebra de Lie e é chamada de representação adjunta da álgebra[3].

Dentro , o colchete de Lie é, por definição, dado pelo comutador de dois operadores:

onde denota a composição de mapas lineares. Se é de dimensão finita, então é isomorfo a , a álgebra de Lie do grupo linear geral sobre o espaço vetorial e se uma base para ele é escolhido, a composição corresponde ao produto de matrizes.


Usando a definição acima do colchete de Lie, a identidade de Jacobi [nota 1]

assume a forma

onde , , e são elementos arbitrários de .

Constantes de estrutura[editar | editar código-fonte]

Os elementos explícitos da matriz da representação adjunta são dados pelas constantes de estrutura da álgebra[4]. Ou seja, deixe {ei} ser um conjunto de vetores de base para a álgebra, com

Então os elementos da matriz para são dados por

Assim, por exemplo, a representação adjunta de SU(2) é o representante de definição de SO(3)[5][6].

Notas

  1. Em matemática, a identidade de Jacobi (nomeado em homenagem ao matemático alemão Carl Gustav Jakob Jacobi) é uma propriedade que uma operação binária pode ter que determina como a ordem de avaliação se comporta para a dada operação. Ao contrário de operações associativas, ordem de avaliação é significativa para as operações que satisfazem a identidade de Jacobi.

Referências

  1. "Uma Introdução às Álgebras de Lie e suas Representações" por Eliana Carla Rodrigues & Jhone Caldeira, publicado pela Universidade Federal de Goiás - [[1]]
  2. Wolfgang Ziller (2010). «Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces» (PDF). University of Pennsylvania. Consultado em mar. 2014.  Verifique data em: |acessodata= (ajuda)
  3. San Martin, Luiz A. Barrera. Álgebras de Lie, 2ª edição, Editora da Unicamp, Campinas, 2010. ISBN 978-85-268-0876-8
  4. Weinberg, Steven, The Quantum Theory of Fields, Volume 1: Foundations, Cambridge University Press, Cambridge, (1995). ISBN 0-521-55001-7
  5. Lie Groups in Physics (2007 G. 't Hooft, M.J.G. Veltman e B.Q.P.J. de Wit)
  6. Modern Quantum Mechanics (1994 J. J. Sakurai)
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