Rolete (curva)
Em geometria diferencial de curvas, uma rolete é um tipo de curva, generalizando cicloides, epicicloides, hipocicloides, trocoides e evolventes.
De forma geral, é a curva descrita por um ponto (denominado gerador ou polo) pertencente a uma curva dada que rola sem deslizar sobre uma outra curva dada e que permanece fixa. Mais precisamente, dada uma curva em um plano que se move tal que a curva rola sem deslizar ao longo de uma dada curva em um plano fixo ocupando o mesmo espaço, então um ponto pertencente ao plano móvel descreve uma curva no plano fixo denominada rolete.
Na animação ao lado, a curva fixa (em azul) é uma parábola, a curva móvel (em verde) é outra parábola igual à azul, e o gerador é o vértice da parábola rolante, que descreve a rolete (em vermelho). Neste caso a rolete é a Cissoide de Diocles.[1]
Quando a curva rolante é uma reta e o gerador é um ponto sobre a reta, a rolete é denominada evolvente da curva fixa. Se a curva rolante é um círculo e a curva fixa é uma reta, a rolete é uma trocoide. Se, neste caso, o ponto está sobre o círculo, então a rolete é uma cicloide.
Se, ao invés de um simples ponto fixo ser marcado na curva girante outra dada curva é carregada junto com o plano móvel, uma família de curvas congruentes é produzida. O envelope desta família também pode ser chamado de rolete.
Um conceito relacionado é uma glissete, a curva descrita por um ponto ligado a uma dada curva quando esta desliza sobre duas (ou mais) curvas dadas.
Formalmente falando, as curvas devem ser diferenciáveis no plano euclidiano. Uma permanece invariante, e a outra é submetida a uma transformação congruente contínua, tal que para todo tempo as curvas são tangentes em um ponto de contato que se move com a mesma velocidade ao longo de qualquer das curvas. A rolete resultante é formada pelo lugar geométrico do gerador sujeito ao mesmo conjunto de transformações congruentes.
Modelando as curvas originais no plano complexo, sejam parametrizações distintas tal que r(0)=f(0), r′(0)=f′(0), e |r′(t)|=|f′(t)|≠0 para todo t. A rolete de quando r rola sobre f é então dada pelo mapeamento
Roletes em espaços de maiores dimensões podem ser imaginadas, mas são necessário mais parâmetros que apenas tangentes.
Exemplo
[editar | editar código-fonte]Se a curva fixa é uma catenária e a curva rolante uma reta, temos:
A parametrização da linha é tal que
Aplicando a fórmula acima obtemos
Se p = −i a expressão tem a parte imaginária constante (−i) e a rolete é uma linha horizontal. Uma aplicação interessante disto é que uma roda quadrada pode rolar sem saltar sobre uma estrada que é composta por uma série de arcos catenários, como mostra a animação a seguir.
Lista de roletes
[editar | editar código-fonte]Curva fixa | Curva rolante | Ponto gerador | Rolete |
---|---|---|---|
Qualquer curva | Reta | Ponto da reta | Evolvente de uma curva |
Reta | Circunferência | Qualquer | Trocoide |
Reta | Circunferência | Ponto da circunferência | Cicloide |
Reta | Cônica | Centro da cônica | Rolete de Sturm[2] |
Reta | Cônica | Foco da cônica | Rolete de Delaunay[3] |
Reta | Parábola | Foco da parábola | Catenária[4] |
Reta | Elipse | Foco da elipse | Catenária elíptica[4] |
Reta | Hipérbole | Foco da hipérbole | Catenária hiperbólica[4] |
Reta | Hipérbole | Centro da hipérbole | Elástica retangular |
Reta | Epicicloide ou Hipocicloide | Centro | Elipse[5] |
Circunferência | Circunferência | Qualquer | Trocoide centrada[6] |
Parábola | Parábola igual parametrizada em sentido oposto | Vértice da parábola | Cissoide de Diocles[1] |
Catenária | Reta | Ver exemplo acima | Line |
Referências
Bibliografia
[editar | editar código-fonte]- Besant, W. H. Notes on Roulettes and Glissettes, Deighton, Bell & Co., 1890. Online
- Weisstein, Eric W. «Roulette». MathWorld (em inglês)