Rotacional

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Representação esquemática de um tubo de água ilustrando a noção de rotacional

Em cálculo vetorial, rotacional é um operador que calcula, em uma superfície infinitesimal, o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície. Assim, o rotacional corresponde a uma transformação linear de um campo de vetores em um outro campo vetorial, ou seja, a cada ponto do espaço aonde definimos o rotacional ele será dado por um vetor. Seu significado é empregado em diversos ramos da ciência, como eletromagnetismo e mecânica dos fluidos.

Campos vetoriais nos quais o rotacional é diferente de zero, são ditos campos de vórtice (vortex, em latim). Portanto, o campo de velocidades de um corpo em rotação é um campo de vórtice e o rotacional de um campo pode ser interpretado como uma "medida" da capacidade de giro deste campo.

Se o campo vetorial representa o campo de velocidades de um fluido, então o rotacional representará a circulação de um volume infinitesimal deste fluido por uma superfície. Neste caso, o módulo deste rotacional neste ponto dará o quanto a velocidade deste fluido gira e a direção deste rotacional será a da normal à superfície do giro, obedecendo-se a regra da mão direita.

Um campo vetorial cujo rotacional é zero é chamado de irrotacional. Os campos vetoriais conservativos, como aqueles dados pela Lei da Gravitação Universal e pela Lei de Coulomb, são campos irrotacionais; em outras palavras, nada girará sob a ação exclusiva destes campos.

Coordenadas cartesianas[editar | editar código-fonte]

Dado um campo vetorial , seu rotacional será :

Outra forma de apresentar o vetor rotacional é através de um produto vetorial, calculável através da seguinte mnemônica:

Essas duas formas de apresentar o Rotacional de uma função valem apenas para funções vetoriais escritas em coordenadas retangulares.

Coordenadas cilíndricas[editar | editar código-fonte]

Coordenadas esféricas[editar | editar código-fonte]

Representação do Rotacional[editar | editar código-fonte]

Representação do Campo Vetorial F(x,y)= -yi +xj

Como já dito, o rotacional pode ter sua representação física relacionada à capacidade de giro que uma parte infinitesimal de um campo vetorial apresenta. Apesar disso, sua visualização pode ser muito difícil, então, para auxiliar, vamos imaginar um campo vetorial qualquer, tomando como exemplo a função F(x,y)= -yi +xj . Dado o campo vetorial, podemos imaginar ele como sendo a representação de um recipiente com água que está escoando para seu centro, como se tivesse um ralo de saída. Apesar da imagem ser ilustrativa, as flechas indicam o sentido e a intensidade do movimento da água.

Disco colocado em um campo vetorial

Então é colocado um disco dentro da água, e este disco tem um "Norte", um sentido de orientação. Ao ser colocado dentro do campo vetorial, o disco começa a se movimentar de forma circular, acompanhando o deslocamento da água, mas sem mudar seu sentido e direção de orientação original, isto é, mantém seu "Norte" apontado para a mesma direção. Este campo é dado como irrotacional, em função do disco não mudar a posição em relação a seu próprio eixo.

Agora imagine que outro disco é colocado dentro da água, só que desta vez, o centro do disco começa a se movimentar e girar no seu próprio eixo, isto é, ao longo do seu movimento, seu "Norte" muda de sentido e direção. Esta capacidade do disco de girar ao longo do movimento pode ser interpretada como o rotacional do campo vetorial.

O rotacional pode ser obtido através da regra da mão direita, em que se posicionam os 4 dedos acompanhando o movimento de giro do disco, e por consequência, o dedão acaba apontando na direção do rotacional. No caso do disco, utilizando a regra, concluiremos que o rotacional está apontando para o eixo k positivo, isto é, para fora da tela.

Representação física do Rotacional


Identidades[editar | editar código-fonte]

Em geral, nos sistemas de coordenadas curvilíneas, o rotacional de um produto de um campo de vetores v e F pode ser expresso por:

Trocando o campo vetorial v e o operador ∇, chegamos a um produto de um campo vetorial com o rotacional de outro:

usando a notação de Feynman, ∇F, que opera somente com o campo vetorial F.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Strauch, Irene (2008), Análise Vetorial em dez aulas, Departamento de Matemática Pura e Aplicada, Instituto de Matemática - UFRGS.
  • Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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