Rotacional

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Representação esquemática de um tubo de água ilustrando a noção de rotacional

Em cálculo vetorial, rotacional é um operador que calcula, em uma superfície infinitesimal, o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície. Assim, o rotacional corresponde a uma transformação linear de um campo de vetores em um outro campo vetorial, ou seja, a cada ponto do espaço onde definimos o rotacional ele será dado por um vetor. Seu significado é empregado em diversos ramos da ciência, como eletromagnetismo e mecânica dos fluidos.

Campos vetoriais nos quais o rotacional é diferente de zero, são ditos campos de vórtice (vortex, em latim). Portanto, o campo de velocidades de um corpo em rotação é um campo de vórtice e o rotacional de um campo pode ser interpretado como uma "medida" da capacidade de giro deste campo.

Se o campo vetorial representa o campo de velocidades de um fluido, então o rotacional representará a circulação de um volume infinitesimal deste fluido por uma superfície. Neste caso, o módulo deste rotacional neste ponto dará o quanto a velocidade deste fluido gira e a direção deste rotacional será a da normal à superfície do giro, obedecendo-se a regra da mão direita.

Um campo vetorial cujo rotacional é zero é chamado de irrotacional. Os campos vetoriais conservativos, como aqueles dados pela Lei da Gravitação Universal e pela Lei de Coulomb, são campos irrotacionais; em outras palavras, nada girará sob a ação exclusiva destes campos.

Interpretação Intuitiva[editar | editar código-fonte]

Suponha que o campo vetorial descreve o campo de velocidade de um fluxo de fluido (como um grande tanque de líquido ou gás ) e uma pequena esfera está localizada dentro do fluido ou gás (o centro da esfera sendo fixado em um determinado ponto). Se a esfera tiver uma superfície áspera, o fluido que passa por ela a fará girar. O eixo de rotação (orientado de acordo com a regra da mão direita) aponta na direção da onda do campo no centro da esfera, e a velocidade angular da rotação é a metade da magnitude do rotacional neste ponto.[1]

A curvatura do vetor em qualquer ponto é dada pela rotação de uma área infinitesimal no plano xy (para componente do eixo z da curvatura), plano zx (para componente do eixo y da curvatura) e plano yz (para o componente do eixo x da curvatura).[1]

Coordenadas cartesianas[editar | editar código-fonte]

Dado um campo vetorial , seu rotacional será :

Outra forma de apresentar o vetor rotacional é através de um produto vetorial, calculável através da seguinte mnemônica:

Essas duas formas de apresentar o Rotacional de uma função valem apenas para funções vetoriais escritas em coordenadas retangulares.

Coordenadas cilíndricas[editar | editar código-fonte]

Coordenadas esféricas[editar | editar código-fonte]

Representação do Rotacional[editar | editar código-fonte]

Representação do Campo Vetorial F(x,y)= -yi +xj

Como já dito, o rotacional pode ter sua representação física relacionada à capacidade de giro que uma parte infinitesimal de um campo vetorial apresenta. Apesar disso, sua visualização pode ser muito difícil, então, para auxiliar, deve-se imaginar um campo vetorial qualquer, tomando como exemplo a função F(x,y)= -yi +xj . Dado o campo vetorial, pode-se imaginar ele como sendo a representação de um recipiente com água que está escoando para seu centro, como se tivesse um ralo de saída. Apesar da imagem ser ilustrativa, as flechas indicam o sentido e a intensidade do movimento da água.

Disco colocado em um campo vetorial

Então é colocado um disco dentro da água, e este disco tem um "Norte", que consiste no seu sentido de orientação. Ao ser colocado dentro do campo vetorial, o disco começa a se movimentar de forma circular, acompanhando o deslocamento da água, mas sem mudar seu sentido e direção de orientação original, isto é, mantendo seu "Norte" apontado para a mesma direção. Este campo é dado como irrotacional, em função do disco não mudar a posição em relação a seu próprio eixo.

Agora imagine que outro disco é colocado dentro da água, só que desta vez, o centro do disco começa a se movimentar e girar no seu próprio eixo, isto é, ao longo do seu movimento, seu "Norte" muda de sentido e direção. Esta capacidade do disco de girar ao longo do movimento pode ser interpretada como o rotacional do campo vetorial (STRAUCH, 2008).

O rotacional pode ser obtido através da regra da mão direita, em que se posicionam os 4 dedos acompanhando o movimento de giro do disco, e por consequência, o polegar acaba apontando na direção do rotacional. No caso do disco, utilizando a regra, conclui-se que o rotacional está apontando para o eixo k positivo, isto é, para fora da tela.

Representação física do Rotacional

Para o campo F(x,y) dado, tem-se o rotacional:

Calculando-se então o determinante, chega-se à expressão:

Calculando as derivadas, tem-se então:

Por fim, o rotacional deste campo resulta no vetor , o que confirma a regra da mão direita utilizada para verificar a direção do vetor, resultando no sentido positivo.

Identidades[editar | editar código-fonte]

Sejam as funções vetoriais diferenciáveis = e = , e as funções escalares diferenciáveis e , pode-se obter algumas identidades matemáticas do Rotacional:

Na identidade 1 pode-se constatar que o rotacional da soma é a soma dos rotacionais. Pode-se também constatar que o divergente de um rotacional é zero (escalar), na identidade 4. Uma identidade muito útil e importante no estudo de campos rotacionais é a identidade 3, em que está sendo afirmado basicamente que o rotacional de um campo gradiente, ou campo conservativo, resulta no vetor nulo, isto é, não apresenta possibilidade de giro. Esta identidade é de extrema importância, pois demonstra que todos os campos conservativos são irrotacionais (Strauch, 2008).

Rotacional geometricamente[editar | editar código-fonte]

2 vetores correspondem à potência exterior Λ2V ; na presença de um produto interno, em coordenadas são as matrizes assimétricas, que são geometricamente consideradas como a álgebra de Lie ortogonal especial (V) de rotações infinitesimais. Isso tem (n
2
) = 12n(n − 1)
dimensões, e permite interpretar o diferencial de um campo vetorial como as suas rotações infinitesimais. Apenas em 3 dimensões (ou trivialmente em 0 dimensões) faz n = 12n(n − 1), que é o caso mais elegante e comum. Em 2 dimensões, o rotacional de um campo vetorial não é um campo vetorial, mas uma função, já que as rotações bidimensionais são dadas por um ângulo (um escalar - uma orientação é necessária para escolher se se conta as rotações no sentido horário ou anti-horário como positivas); este não é o divergente, mas sim perpendicular a ele. Em 3 dimensões, o rotacional de um campo vetorial é um campo vetorial, como é familiar (nas dimensões 1 e 0, o rotacional de um campo vetorial é 0, porque não há 2 vetores não triviais), enquanto em 4 dimensões o rotacional de um campo vetorial é, geometricamente, em cada ponto um elemento da álgebra de Lie 6-dimensional (4) .[2]

O rotacional de um campo vetorial tridimensional que só depende de 2 coordenadas (digamos x e y) é simplesmente um campo vetorial vertical (na direção z) cuja magnitude é a curvatura do campo de vetores bidimensionais.

Considerar o rotacional como um campo de 2 vetores (um tensor antissimétrico) foi usado para generalizar o cálculo vetorial e a física associada a dimensões superiores. [2]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • STRAUCH, Irene (2008), Análise Vetorial em dez aulas, Departamento de Matemática Pura e Aplicada, Instituto de Matemática - UFRGS.
  • Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.
  • Gibbs, Josiah Willard; Wilson, Edwin Bidwell (1901), Vector analysis
  • Generalizing Cross Products and Maxwell's Equations to Universal Extra Dimensions, A.W. McDavid, C.D. McMullen, 2006

Ver também[editar | editar código-fonte]

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