Série (matemática)

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Em matemática, o conceito de série, ou ainda, série infinita, surgiu da tentativa de generalizar o conceito de soma para uma sequência de infinitos termos.

Esta generalização, longe de acontecer de forma impune, traz diversas dificuldades:

  • nem sempre é possível definir um valor resultante da soma para uma série;
  • não é possível em geral trocar a ordem dos termos da série;
  • algumas séries possuem soma infinita.

Embora a ideia de soma infinita seja bastante antiga, uma formulação matemática rigorosa só veio a surgir no século XVIII, com o advento da análise real, que denota e define uma série de termos da seguinte forma:

A teoria das séries divergentes generaliza este conceito de soma para alguns casos quando este limite não existe.

Um primeiro exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a dízima periódica que resulta da divisão de 1 por 3:

Esta dízima pode ser reinterpretada como a soma da série:

E neste caso, dizemos que a soma desta série é

Notação[editar | editar código-fonte]

Cauchy formaliza o estudo das séries.

Se forem os termos da sequência que desejamos somar. A soma da série será:

No exemplo anterior, temos que forma uma progressão geométrica de razão

Chamamos de soma parcial até o termo N, a soma dos N primeiros termos de uma série:

Definição[editar | editar código-fonte]

Define-se a soma de uma série infinita, o limite das somas parciais quando este limite existe:

Quando este limite existe, definímos ainda o resíduo de ordem n da série, pela seguinte série:

Esta definição nos permite escrever:

para todo

A soma parcial pode, portanto, ser interpretada como uma aproximação para a soma da série, enquanto que o resíduo é o erro desta aproximação.

É claro que:

Aspectos históricos[editar | editar código-fonte]

A consideração de somas infinitas é um problema estreitamente ligado ao problema da passagem ao limite. A falta por longo período de conceitos adequados e de uma teoria razoável levou os matemáticos a numerosas especulações e paradoxos a respeito da natureza das séries infinitas, a exemplo do paradoxo de Zenão.

O paradoxo de Zenão segundo Aristóteles em Fisica VI, 239 b 9 ss consiste basicamente em decompor o movimento em um número infinito de partes. Pressupondo de que é impossível realizar infinitos movimentos em tempo finito, o deslocamento torna-se impossível. O experimento mental tradicional propõe uma competição entre o herói Aquiles e uma tartaruga. A tartaruga parte com uma vantagem inicial. É impossível que Aquiles alcance a tartaruga, porque, quando Aquiles atinge a posição inicial da tartaruga (A), ela já avançou para o ponto (B). Quando Aquiles chega ao ponto B, a tartaruga já está em C e assim até o infinito.

O matemático e astrônomo Madhava foi o primeiro, no século XIV, a considerar tais séries. Seus trabalhos receberam continuidade por seus sucessores da escola de Kerala, região ao sul da Índia e foram registrados no livro Yuktibhasa. Madhava se dedica ao estudo das funções trigonométricas, propondo-lhe desenvolvimento em séries de Taylor e em séries trigonométrica. Ele utiliza esses conceitos para o cálculo de aproximações (notavelmente para estimar o valor numérico da constante ) e estabelece estimativas para o erro assumido. Também introduz os primeiros critérios de convergência.

No século XVII, James Gregory redescobre vários desses resultados, em especial o desenvolvimento de séries trigonométricas em séries de Taylor e sua série que permita calcular o valor numérico de Em 1715, Brook Taylor, ao publicar a construção geral das séries que recebem seu nome, estabelece uma frutífera ligação da teoria de séries infinitas com o cálculo diferencial.

No século XVIII, Leonhard Euler estabelece numerosas relações sobre séries, calcula diversas somas notáveis e introduz o conceito de série hipergeométrica.

A teoria das séries infinitas se estabelece finalmente com o advento da análise matemática ao longo dos séculos XVIII e XIX com os trabalhos sobretudo de Augustin Louis Cauchy.

Classificação das séries quanto à convergência [1][editar | editar código-fonte]

Nome Limite existe? Limite existe? Exemplo deste tipo de série
Série convergente (seus termos formam uma sequência dita somável) absolutamente convergente Sim e é finito Sim e é finito
condicionalmente convergente Sim e é finito Não existe A soma converge, mas se a tomarmos em módulo teremos uma soma divergente
Série divergente Não existe - Os somatórios e divergem.
Série oscilante Não - O somatório
  • Obs.: Alguns autores, sobretudo fora do escopo da análise real ou na teoria das séries divergentes, definem como série divergente toda aquela que não é convergente.

Convergência e divergência de séries[editar | editar código-fonte]

Diversos são os teoremas para provar que determinada série numérica converge ou diverge, esses costumam ser chamados de testes (ou critérios), eis alguns exemplos:

Termos positivos[editar | editar código-fonte]

Teste da integral[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teste da integral

O teste da integral é um método para estabelecer a convergência de um série comparando a soma de seus termos à integral de uma função adequada.

Seja uma série de números positivos e uma função com as seguintes propriedades:

  • é decrescente;

Então converge se e somente se converge.

Teste da comparação do limite (2º Critério de Comparação)[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teste da comparação do limite

O teste da comparação do limite é uma generalização do teste da comparação. Sejam e séries de termos positivos. Então:

  • Se sendo um número e temos:
ambas as séries divergem ou ambas as séries convergem.

Obs.: Se então:

Se é convergente → é convergente.

Este teste admite uma ligeira modificação através do uso do limite superior:

  • Se temos que:
Se é convergente → é convergente.

Critério da comparação de razões[editar | editar código-fonte]

O critério da comparação de razões serve como base para muitos dos critérios utilizados para estudar convergência e divergência de séries. Este é sugerido pela lógica da progressão geométrica.

Sejam as séries de termos positivos e imaginemos que existe um número natural tal que, para temos:

Então

  • convergente ⇒ convergente;
  • divergente ⇒ divergente;

Teste da divergência[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teste da divergência

O teste da divergência ou teste do termo geral estabelece que uma série numérica não pode convergir se o seu termo geral não converge para zero. Ou seja:

Se converge, então seu termo geral converge para zero.

Observe cuidadosamente que a recíproca não é verdadeira, um contra-exemplo simples é a série harmônica:

onde o termo geral tende a zero, mas a soma diverge.

Teste da comparação (1º Critério de Comparação)[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teste da comparação

O teste da comparação estabelece um critério para convergência de séries de termos positivos, ou para a convergência absoluta. Sejam as séries:

Então se e se a segunda série converge a primeira também converge (e a soma não é superior). Ou ainda, se a primeira diverge a segunda também deve divergir. Podemos também estabelecer que se então a primeira série converge contanto que a segunda também convirja.

Teste da razão (critério de d'Alembert)[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teste da razão

O teste da razão ou teste de d'Alembert é um teste para saber a convergência ou não de uma série comparando-a com a série geométrica.

Seja uma série de termos não nulos.

E suponha que exista o limite

Então

  • a série é absolutamente convergente (portanto convergente);
  • ou ou a série é divergente;
  • o teste é inconclusivo.

Teste da raiz (critério de Cauchy)[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teste da raiz

O teste da raiz ou teste de Cauchy é outro teorema que permite estabelacer a convergência de uma série. Ele pode também ser aplicado para estudar a convergência de uma série de funções e permite estabelecer o raio de convergência de uma série de Taylor.

Seja uma série numérica e a constante definida pelo limite:

Então:

  • Se a série converge absolutamente
  • Se ou a série não converge
  • Se nada se pode concluir

No caso de o limite não existir, este teste ainda é válido, substituindo a definição de por:

Séries de termos quaisquer[editar | editar código-fonte]

Teste da série alternada (critério de Leibniz)[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teste da série alternada

ou Critério de Leibniz

Testes de Abel e Dirichlet[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teste de Abel e Teste de Dirichlet

O teste de Abel e o teste de Dirichlet demonstram a convergência de séries numéricas que podem ser escritas na forma:

quando os coeficiente forma uma sequência monotônica com limite

O teste de Abel garante a convergência de quando é convergente. Já o teste de Dirichet se aplica quando mas exige apenas que as somas parcial sejam limitadas:

Tipos importantes de séries[editar | editar código-fonte]

Série geométrica[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Série geométrica

A série geométrica formada pelos termos de uma progressão geométrica:

Da teoria das progressões geométricas, temos que:

É facil ver que se então esta série é convergente e sua soma é dada por:

ou, como é mais usual:

Série harmônica[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Série harmônica (matemática)

A série harmônica formada pelos termos de uma progressão harmônica:

Esta série é divergente, o que pode ser provado com a seguinte astúcia:

e substitua nas somas parciais:

Simplificando os termos repetidos temos:

Série alternada[editar | editar código-fonte]

Chama-se série alternada toda a série da forma: Um exemplo de série alternada é: que a despeito da série harmônica, converge. Para verificar a convergência de séries alternadas, existe o teste da série alternada.

Série telescópica (de Mengoli)[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Série telescópica

Chame-se série telescópica toda série cujos termos possam ser escritos como:

onde é outra progressão numérica.

Um exemplo de série telescópica é

Observe que aqui

É fácil ver que: e, portanto: é convergente se e somente se existe o limite

Constantes definidas por séries[editar | editar código-fonte]

Algumas constantes matemáticas são mais frequentemente definidas diretamente através de uma série, este é o caso de:

Essa série é convergente, em contraste com a série dos inversos dos primos, que é divergente:

Rearranjo de termos[editar | editar código-fonte]

Sejam os termos de uma série. Definimos um rearranjo dos termos uma nova sequência com os mesmos termos onde é uma permutação.

  • Pode-se mostrar que se uma série converge absolutamente, então pode-se rearranjar os termos sem alterar a soma.
  • Se uma série de números reais é condionalmente convergente mas não absolutamente convergente, então cada cada soma pré-fixada existe um rearranjo de termos tal que a soma da série rearranjanda é

Funções definidas por séries[editar | editar código-fonte]

Um procedimento bastante comum em análise matemática é o de definir funções atráves de séries. Veja o exemplo:

Se é um número real maior que então esta função está bem definida, o que pode ser mostrado pelo teste da integral (veja série harmônica). Um caso importante é Se é um número complexo, esta função é a famosa função zeta de Riemann a respeito da qual há um dos mais importantes problemas em aberto da matemática moderna. Quanto os termos da série são potências, então a série é dita uma série de Taylor, por exemplo:

Séries duplas[editar | editar código-fonte]

Defíne-se como série dupla o limite duplo a seguir:

Exemplos de séries duplas[editar | editar código-fonte]

Série iteradas[editar | editar código-fonte]

Chama-se série iterada aquela cujos termos são outras séries:

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Também podemos construir séries de somas finitas:

Sequência dos termos de uma série[editar | editar código-fonte]

Seja uma sequência real ou complexa e dizemos que pertence ao espaço lp se:

converge.

Generalizações em espaços normados[editar | editar código-fonte]

Seja um espaço normado, definimos de forma análoga:

quando este limite existe.

A série é somável em norma se

converge.

Nestes termos, é um espaço de Banach se e somente se todo série somável em norma for também convergente.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

é um dos espaços mais importantes da matemática aplicada à teoria do processamento de sinais analógicos. Neste espaço, todo elemento pode ser escrito como uma série de Fourier:

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Referências

  1. LIMA, Elon Lages. Curso de Análise volume 1. Rio de Raneiro, 11ª edição, 2004. Páginas 134-5
  • Guidorizzi, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo, vol 4. 5aedição. São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2002.
  • Ávila, Geraldo Severo de Souza. Introdução à análise matemática. 2aedição. São Paulo: Edgard Blucher, 1999.
  • Bartle, Robert Gardner. The elements of real analysis. 2aedição. New York: Wiley, 1976.
  • Rezende, Antonio. Curso de filosofia 5aedição. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editor / SEAF, 1992.
  • Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. 3aedição. Auckland: Mcgraw-Hill, 1976.
  • Simmons, George F.. Cálculo com geometria analítica, vol 2. 1aedição. São Paulo: McGraw-Hill Ltda, 1987.