Série de Bell

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Em matemática, uma série de Bell é uma série de potências usada para estudar as propriedades de funções aritméticas. As séries de Bell foram introduzidas e desenvolvidas por Eric Temple Bell.[1]

Dada uma função aritmética e um número primo , define-se a série de potências formalmente , chamada agora de série de Bell de módulo como:

Pode-se demostrar que duas funções multiplicativas são idênticas se todas as suas séries de Bell são iguais; isto às vezes chama-se teorema de unicidade. Dadas as funções mutiplicativas e , tem-se que se e somente se:

para todos os primos .

Duas séries podem ser multiplicadas (às vezes chama-se de teorema de multiplicação): Para duas funções aritméticas quaisquer e , seja sua convolução de Dirichlet. Então, para cada primo , tem se que:

Em particular, isto converte em algo trivial encontrar a serie de Bell de uma inversa de Dirichlet.

Se é uma função completamente multiplicativa, então:

Exemplos[editar | editar código-fonte]

A continuação mostra as séries de Bell de funções aritméticas mais conhecidas.

  • A função de Möbius tem
  • A função φ de Euler tem
  • A identidade multiplicativa da convolução de Dirichlet tem
  • A função de Liouville tem
  • A função potência Idk tem Aqui, Idk é a função completamente multiplicativa .
  • A função divisor tem

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. * Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. New York-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90163-3. MR0434929 
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