Série de Fourier

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As primeiras quatro somas da séria de Fourier de uma onda quadrada

História[editar | editar código-fonte]

A ideia de decompor funções arbitrárias em termos de funções trigonométricas simples movimentou grandes nomes da matemática começando por volta de 1750 com L. Euler (1707-1783) e D. Bernoulli (1700-1782), seguindo com J. d'Alembert (1717-1783) e J. L. Lagrange (1736-1813).[1]

Mais tarde Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) estudou sistematicamente tais séries infinitas, na tentativa de resolver a equação da onda. Em 1811, em sua Théorie mathématique de la chaleur (Teoria matemática de condução do calor), Fourier explicitou os coeficientes de tais séries (que ficaram conhecidos como coeficientes de Fourier, embora Euler já conhecesse o formato dos mesmos) e escreveu as séries de senos e cossenos de várias funções. De um ponto de vista moderno, os resultados de Fourier, embora muito importantes a forma da série que recebeu o seu nome, são informais, em boa parte devido à falta de uma definição concisa de funções e integrais até o início do século XIX.[2]

P. G. Dirichlet (1805-1859) foi um dos primeiros a reconhecer que nem toda função poderia ser representada por uma série de Fourier (fato que Fourier acreditava), obtendo uma condição suficiente para a validade da representação a partir da série estudada. Em um trabalho de 1829, Dirichlet dá a primeira demonstração rigorosa de que a série de Fourier de uma função f converge, em cada ponto x, para a média aritmética dos limites laterais de f nesse ponto. Nesse trabalho Dirichlet dá origem ao conceito de função como hoje se é conhecido.[1]

Aparentemente por influência de Dirichlet, G. B. Riemann (1826-1866) se interessou pelo estudo das séries trigonométricas, sendo levado a estudar a integral que leva hoje o seu nome e publicando em 1854 um trabalho intitulado "Sobre a representação de funções por meio de séries trigonométricas".[1]

Em 1876 du Bois-Reymond (1818-1896) construiu função cuja série de Fourier divergia em um dado ponto, e mais tarde ele mesmo construiu uma função cuja série divergia em um conjunto denso. Exemplos mais simples foram dados por L. Fejér (1880 -1959) em 1909. Vale citar também que em 1861 K. Weierstrass (1815-1897) deu o primeiro exemplo de função contínua sem derivada em ponto algum, sendo tal função definida por uma série trigonométrica que converge uniformemente (portanto uma série de Fourier).[2]

Não esqueçamos de citar G. Cantor (1845-1918), o qual teve grande influência pelo trabalho de Dirichlet e investigou o problema da unicidade da representação de funções por séries trigonométricas. Tais influências foram decisivas para a definição de números reais como sequência de números racionais e para a criação da Teoria dos Conjuntos, o que mostra o quão importante para o desenvolvimento da fundamentação teórica da matemática foi a teoria das séries de Fourier, podendo esta, então, ser considerada uma das teorias mais importantes da Análise.[1]

Funções ortogonais[editar | editar código-fonte]

Um conjunto ortogonal de funções é uma generalização de um conjunto ortogonal de vetores, seja um conjunto ortogonal de vetores um conjunto de vetores perpendiculares entre si. As propriedades de um conjunto ortogonal de funções são derivadas por analogia dos conjuntos ortogonais de vetores.[3]

Seja V ou um certo V(k) um vetor com n coordenadas definimos a fórmula que relaciona a norma com do vetor com cada coordenada como:

\left \| V \right \|^2=\sum_{k=1}^{n}V(k)^2 .

Definição 1: A condição para que dois vetores sejam ortogonais é que o produto interno entre ambos seja igual a zero, e o produto interno é definido como:

(V_1,V_2)=\sum_{k=1}^{n}V_1(k)V_2(k)

Precisamos definir oque é um conjunto ortonormal de vetores, para isto usaremos primeiramente um conjunto de 3 vetores ortogonais. Seja V_n um conjunto de 3 vetores, ou seja, teremos V_1, V_2 , V_3 onde cada vetor possui 3 coordenadas. Calculamos as componentes de um vetor que faz parte do conjunto ortonormal de vetores segundo a fórmula:

\phi_n(k)=\left \| V_n \right \|^{-1}V_n(k)

onde n representa o vetor e k representa a sua respectiva coordenada. Note que o vetor é unitário e sua direção não mudou, portanto, neste exemplo, o conjunto ortonormal de vetores são os 3 \phi_n que representam cada vetor V_1, V_2, V_3.

Agora veja, podemos definir qualquer vetor, por exemplo F, do espaço tridimensional como uma combinação linear do conjunto ortonormal, ou seja, o conjunto ortonormal forma uma base do espaço[4] . Portanto:

F=c_1\phi_1(k)+c_2\phi_2(k)+c_3\phi_3(k).

Podemos encontrar o coeficiente c_n, basta usar as propriedades do produto interno:

seja (\phi_m,\phi_n)=\delta_{mn}, onde \delta_{mn} é a delta de Kronecker. Portanto:

C_n=(F,\phi_n)=\sum_{k=1}^{3}F(k)\phi_n(k).

Supondo agora que temos uma função contínua por partes onde f(k) representa a ordenada associada à abscissa k, se a função for definida para x dentro de um intervalo, agora não conseguimos mais obter a norma do vetor simplesmente usando a soma trivial, é natural pensar portanto que a soma do quadrado das componentes será feito por integração:

\left \| f \right \|=\begin{Bmatrix}
\int_{a}^{b}f(x)^2dx
\end{Bmatrix}^{\frac{1}{2}}

usando o mesmo principio definimos o produto interno de duas funções como:

(f_1,f_2)=\int_{a}^{b}f_1(x)f_2(x)dx

também podemos definir o conjunto \begin{Bmatrix}\phi_n(x)\end{Bmatrix}. O conjunto ortonormal sobre o intervalo pode ser calculado da mesma forma que em vetores, como segue: \phi_n(x)=\left \| f_n \right \|^{-1}f_n(x)

e o produto interno entre eles também, lembrando é claro que agora temos que cobrir todo o intervalo e não usamos mais soma e sim a integral dentro do intervalo:

\int_{a}^{b}\phi_m(x)\phi_n(x)dx.

A ideia agora é escrever a função f(x) como uma combinação linear do conjunto ortonormal de funções, ou seja, f(x)=c_1\phi_1(x)+c_2\phi_2(x)+...+c_n\phi_n(x)

lembrando que x precisa estar dentro do intervalo. Quando estávamos lidando com vetores podíamos achar os coeficientes da série, e com funções não será diferente, podemos usar a mesma ideia proposta quando estávamos trabalhando com vetores: obter o produto interno de ambos os lados envolvendo \phi_n(x), obtendo desta forma o coeficiente c_n através da definição de produto interno. Portanto:

c_n=\int_{a}^{b}f(x)\phi_n(x)dx (produto interno entre as funções)

Agora já estamos aptos a definir a série de Fourier generalizada através das funções ortogonais e do produto interno entre a função e o conjunto de funções ortogonais que define cada coeficiente da série:

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }\phi_n(x)\int_{a}^{b}f(\xi )\phi_n(\xi )d\xi.

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma série trigonométrica é uma série da forma

T(t)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cdot\cos\left(\frac{n \pi t}{L}\right) + b_n \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi t}{L}\right)\right]

Seja f uma função periódica de período 2L , ou seja f(t + 2L) = f(t)  para todo t , a qual satisfaz às seguintes condições, conhecidas como as condições de Dirichlet:

  • A função é unívoca e contínua exceto em um número finito de descontinuidade ordinárias dentro do período 2L;
  • A função tem um número finito de máximos e mínimos dentro do período 2L;
  • A função é absolutamente integrável, ou seja, a integral  \int_{0}^{2L} |f(t)|\,dt converge;

Então define-se a Série de Fourier da função f como a série trigonométrica dada pelos coeficientes:

a_0=\frac{1}{L} \int_{c}^{c+2L} f(t)\,dt, a_n=\frac{1}{L} \int_{c}^{c+2L} f(t) \cos\left(\frac{n \pi t}{L}\right)\,dt, n\geq1 e b_n=\frac{1}{L} \int_{c}^{c+2L} f(t) \,\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi t}{L}\right)\,dt , n\geq1

para n inteiro. Observamos aqui que, como f periódica de período 2L , o intervalo de integração pode ser qualquer intervalo de comprimento 2L , sendo que geralmente são utilizados [0, 2L] ou [-L, L] .[2]

Os coeficientes a_n , n\geq0 e b_n , n\geq1 são conhecidos como coeficientes de Fourier.

Forma Harmônica[editar | editar código-fonte]

Também podemos expressar a série de Fourier da função f(t) com período T como[5]

f(t) = A_0+ \sum_{n=1}^{\infty} A_n\cdot\cos(w_nt - \theta_n)

onde:

A_0= \frac{a_0}{2}, A_n=\sqrt{a_n^2 + b_n^2} para n\geq1, e w_n = \frac{2n\pi}{T}

A igualdade entre a forma harmônica e a forma trigonométrica se dá por meio da identidade trigonométrica do cosseno da diferença:

\cos(a - b) = \cos (a) \cos (b) + \sen (a) \sen (b)\,

Aplicando a identidade na forma harmônica, tem-se que:

f(t) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} [A_n\cos(\theta_n)\cos(w_nt) + A_n\sin(\theta_n)\sin(w_nt)]

Comparando os termos com os da representação trigonométrica, tem-se que:

A_0 = a_0, a_n = A_n\cos(\theta_n) e b_n = A_n\cos(\theta_n)

Forma complexa[editar | editar código-fonte]

Usando-se as expressões para as funções trigonométricas provenientes da fórmula de Euler: e^{ix}=cos(x)+isen(x)

\sen z= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} 

\cos z= \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}

Substituindo-as na Forma Trigonométrica da Série de Fourier:

f(t)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\frac{e^{iw_nt}+e^{-iw_nt}}{2} + b_n \frac{e^{iw_nt}-e^{-iw_nt}}{2i}\right]

Onde:

w_n= \frac{2n \pi}{L}

f(t)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{a_n-ib_n}{2}e^{iw_nt} + \frac{a_n+ib_n}{2i}e^{-iw_nt}\right]

Considerando a paridade das funções seno (ímpar) e cosseno (par) é possível notar que:

a_{-n}=a_n

b_{-n}=-b_n e b_0=0

Onde foi usado que :

sen(-x)=-sen(x) e cos(x)=cos(-x)

w_{-n}=\frac{2\pi (-n)}{L}=-w_n

Como notação é tomado: c_n=\frac{a_n-ib_n}{2} , assim: c_0=\frac{a_0-ib_0}{2}=\frac{a_0}{2}

c_0=\frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(t)\,dt=\frac{1}{L} \int_{0}^{L} f(t)\,dt

Para calcular os coeficientes com índices diferentes de zero utilizamos a fórmula de Euler:

\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(t)\,(cos(w_nt)-isen(w_nt))dt

Logo:

c_n =\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(t)\,e^{-iw_nt}dt

Para a Expressão da função obtemos:

f(t)= c_0 +\sum_{n=1}^{\infty} c_n \,e^{iw_n t} + \sum_{n=1}^{\infty} c_{-n} \,e^{-iw_nt}

Simplificando a expressão para f obtemos:

f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \,e^{iw_nt}

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Para a função g(t) 2-periódica dada por

g(t)=\begin{cases}-1,\,-\pi<t<   0 \\ + 1,\,   0\leq t<\pi\end{cases}

encontramos os seguintes coeficientes de Fourier[6]

a_0=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,dt=0 ,

a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos\left(\frac{n \pi t}{\pi}\right)\,dt=0

b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \,\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi t}{\pi}\right)\,dt = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{1-(-1)^n}{n}

Logo, a série de Fourier de g é dada por

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1-(-1)^n}{n}\cdot\sen(nt)


Diagramas de espectro[editar | editar código-fonte]

Os coeficientes c_n da expansão de uma função em Série de Fourier Complexa são números complexos. É comum representar os c_n na forma de módulo e fase, isto é:

c_n= |c_n| e^{i\phi_n}

Pode-se representar c_n através de dois diagramas: um para as suas amplitudes (conhecido como espectro de amplitudes) e outro para as suas fases (conhecido como espectro de fases):[7]

• Espectro de amplitudes: é um diagrama onde grafa-se os valores das amplitudes |C_n| dos coeficientes de Fourier versus n\omega_0, isto é, um gráfico da forma: |C_n| × n\omega_0.

• Espectro de fase: é um diagrama onde grafa-se os valores das fases \phi_n dos coeficientes de Fourier versus n\omega_0, isto é, um gráfico da forma: \phi_n × n\omega_0.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Teorema de Parseval[editar | editar código-fonte]

Considerando uma função f(t), com período T e representável por uma série de Fourier, a seguinte identidade é válida:

\frac{1}{T}\int_{0}^T | f(t) |^2 \, dt = \sum_{n=-\infty}^\infty | c_n |^2

Sendo c_n os coeficientes complexos da série analisada.
Esta integral se relaciona com o conceito de potência média de um sinal.

Funções pares e ímpares[editar | editar código-fonte]

As séries de Fourier transparecem em seus coeficientes a paridade das funções:[6]

Aplicações[editar | editar código-fonte]

As séries de Fourier são capazes de representar uma família de funções periódicas envolvendo tanto funções contínuas como não contínuas, diferentemente das séries de Taylor, que só representam funções contínuas e deriváveis[8] . Algumas das funções representáveis podem ter significado físico, como os sinais musicais ou elétricos. Essas séries também são amplamente utilizadas na resolução de equações diferenciais parciais, como a equação da onda, do calor e problemas envolvendo a Equação de Laplace.

Para funções não periódicas a série de Fourier não está definida. Faz-se, então, o uso da transformada de Fourier, que possui uma possibilidade de aplicação mais ampla.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d Revista Matemática Universitária n° 11, junho de 1990, p. 27-52.
  2. a b c Figueiredo, Djairo Guedes de. Análise de Fourier e equações diferenciais parciais. Terceira ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1977. p. 16-18,40-42..
  3. Churchill, Ruel. Fourier Series and Boundary Problems. [S.l.: s.n.], 1963.
  4. Boldrini, José. Álgebra Linear. [S.l.: s.n.], 1980.
  5. Hsu, Hwei P.. Análise de Fourier. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Ltda, 1973. p. 04,16,52-54..
  6. a b Zill, Cullen, Dennis G., Michael R.. Equações Diferenciais. terceira ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001. p. 213,215-216.
  7. http://www.matematica.pucminas.br/
  8. Anton, Howard. Cálculo, um novo horizonte. sexta ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. p. 69-77.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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