Série de potências

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Uma série de potências é uma série que depende de um parâmetro , da seguinte forma:

o número , a sequência e o parâmetro podem ser em geral números complexos. [1]

A convergência da série de potências depende da distância entre e no plano complexo:

Essas séries de potências aparecem primariamente em análise, mas também ocorre em combinatória (sob o nome de funções geradoras) e em engenharia elétrica (sob o nome de Transformada Z).

História[editar | editar código-fonte]

O primeiro que usou séries e potências para resolver problemas foi Isaac Newton, em 1665.[2]

Newton provou o teorema binomial:

que era conhecido para valores naturais de r, e o generalizou para valores racionais, positivos ou negativos, de r.[3]

Em seguida, Newton desenvolveu as séries de potências para seno, cosseno, tangente, arco seno, arco cosseno, arco tangente e a função .[3]

Série de taylor[editar | editar código-fonte]

Uma função analítica num ponto é uma função cujas derivadas de qualquer ordem existem nesse ponto.[1] Nesse caso a função pode ser representada por uma série de potências convergente em :

as derivadas de calculam-se derivando o termo dentro da série, por exemplo, as duas primeiras derivadas são:

Se substituirmos nas séries para , e vemos que:

em geral,

e a série de Taylor de escreve-se:

No caso particular obtém-se a chamada série de McClaurin. Onde o raio de convergência da série é igual à distância entre e o ponto singular de mais próximo.[1]

Algumas séries de McClaurin importantes[editar | editar código-fonte]

  • Série geométrica

 para x, em valor absoluto, menor que 1.
  • Função exponencial

  • Funções trigonométricas

Método das séries[editar | editar código-fonte]

Consideremos a equação diferencial linear, homogênea de segunda ordem

em que , e são polinômios. Muitos problemas de engenharia conduzem a equações dessa forma.[1]

A partir do teorema de existência e unicidade para equações lineares, vemos que os pontos singulares são as raízes do polinômio . Se o ponto não for raiz de , a solução da equação diferencial será uma função analítica em e, portanto, existirá a série de McClaurin para a solução :

A obtenção da solução é equivalente à obtenção da sequência . A equação de diferenças que define a sequência é obtida por substituição da série de McClaurin (e das suas derivadas) na equação diferencial.[1]

Equação de Airy[editar | editar código-fonte]

Um exemplo de uma equação linear muito simples que não pode ser resolvida pelos métodos convencionais das equações diferenciais e que pode ser resolvida pelo método das séries, é a equação de Airy:

O polinômio é neste caso igual a 1, de maneira que a solução será analítica em e poderá ser escrita como uma série de McClaurin:

A segunda derivada é:

e substituindo na equação diferencial

para agrupar as duas séries numa única série de potências, escrevemos a primeira série numa forma equivalente: podemos incrementar em 3 unidades o índice , dentro da série, se subtrairmos 3 aos limites do somatório; a série resultante será idêntica à série inicial

Na primeira série os dois primeiros termos ( e ) são nulos e o terceiro termo () pode ser escrito explicitamente; a série resultante começa desde , podendo ser agrupada à segunda série:

no lado esquerdo da equação temos uma série de potências em que o coeficiente de ordem zero é e os coeficientes de ordem superior a zero são o termo dentro dos parêntesis quadrados, com Para que a série de potências seja nula em qualquer ponto , é necessário que todos os coeficientes sejam nulos:

Temos transformado o problema num problema de equações de diferenças.

A equação de diferenças obtida é uma equação incompleta, de terceira ordem e a sua solução consiste em três sucessões independentes para os coeficientes de ordem múltiplo de 3, múltiplo de 3 mais 1, e múltiplo de 3 mais 2.

Como , os coeficientes de ordem múltiplo de 3 mais 2 são todos nulos. Para obter as outras duas sequências podemos usar o método estudado no capítulo anterior: para , definindo obtemos:

em termos de fatoriais e funções gama temos:

Usando a substituição:

a Equação transforma-se numa equação de coeficientes constantes:

A solução pode agora ser obtida facilmente:

Para calcular a sequência correspondente a , procedemos em forma semelhante. Em função de , a fórmula de recorrência (Equação) é uma equação de primeira ordem:

e com a substituição

a equação transforma-se numa equação de coeficientes constantes:

com solução:

Finalmente, substituimos na série de McClaurin para obter a solução da equação diferencial:

onde e são duas constantes arbitrárias (condições iniciais para e em ). Em alguns casos as séries obtidas podem ser identificadas como a série de McClaurin de alguma função conhecida.

Neste exemplo as séries não correspondem a nenhuma função conhecida, e constituem duas funções especiais designadas funções de Airy.

Raio de convergência[editar | editar código-fonte]

Se a distância for suficientemente aproximada a zero, a série converge ( é o valor da série quando ); quanto maior for a distância mais lenta será a convergência, até que a partir de uma certa distância a série diverge. O valor máximo da distância para o qual a série converge, é o chamado raio de convergência () e calcula-se a partir de:

Referências

  1. a b c d e [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.
  2. Buzzle.com, Accomplishments of Isaac Newton [em linha]
  3. a b Lecture 20 Newton's Invention of calculus [em linha]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]