Série dos inversos dos primos

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Em matemática, a série dos inversos dos primos é a série numérica cujos termos são os inversos dos números primos:

O matemático suíço Leonhard Euler demonstrou, no século XVIII que esta série é divergente.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Uma versão moderna da prova original de Euler pode ser feita como a seguir:

Defina o conjunto cujos elementos são todos os números naturais positivos divisíveis apenas pelos k primeiros números primos. Defina também como a soma dos inversos dos elementos de , assim:

É possível mostrar por indução que:

Usando a série geométrica, temos:

E, portanto:

tomando logaritmos, temos:

Usamos a série de Taylor para o logarítmo:

assim:

Observamos que:

e também que:

E finalmente:

E o resultado segue dado que quando

Outra demonstração[editar | editar código-fonte]

Esta prova é atribuída ao matemático húngaro Paul Erdős.

Suponha por absurdo que a série seja convergente. Então existe um número natural tal que:

Defina o conjunto formado pelos números naturais inferiores ou iguais a x que são divisíveis apenas pelos primos :

E defina a função como o número de elementos em .

A prova consiste em estabeler valores máximos e mínimos para N(x) e observar uma contradição para valores altos de x.

Proposição 1:

Todo número inteiro pode ser escrito na forma , onde q é um Inteiro sem fator quadrático. Os elementos só podem ter, como fatores primos, os primos , portanto o número q é da seguinte forma:

onde os expoentes valem 0 ou 1. Existem, portanto, no máximo, possibilidades para o valor do número q. Como m2 ≤ x, temos que existem no máximo possibilidades para m. Assim, por análise combinatória, temos uma quota superior para N(x).

Proposição 2:

O complemento do conjunto S(x) no conjunto {1, 2, ..., x} tem x - N(x) elementos. Cada elemento deste conjunto deve ser divisível por algum primo pi, com i > k.

Mas a quantidade de números inteiros nesta faixa que é divisivel por um primo é inferior a .

Portanto, temos a a estimativa:

ou, simplificando:

E vemos que, para x grande, as duas proposições se contradizem, o que completa a demonstração.

Teorema de Brun[editar | editar código-fonte]

Viggo Brun, em 1919, demonstrou que a série dos recíprocos dos primos gêmeos converge. Esta série gera o número denominado de constante de Brun.

Observe cuidadosamente que ainda é um problema em aberto a existência de infinitos primos gêmeos. O teorema de Brun afirma que mesmo que existam infinitos termos nesta soma, a série resultante é ainda assim convergente.