Símbolo de Levi-Civita

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Símbolo de Levi-Civita

Em matemática e em particular em cálculo tensorial, define-se símbolo de Levi-Civita, também chamado de símbolo de permutação, como se segue:

nomeado assim por Tullio Levi-Civita. Utiliza-se em muitas áreas das matemática e em física. Por exemplo, em álgebra linear, o produto vectorial de dois vectores pode ser escrito como:

ou mais simplesmente:

esta última expressão pode ser mais simplificada usando a notação de Einstein, convenção na qual se pode omitir o símbolo de soma. O tensor cujas componentes são dadas pelo símbolo de Levi-Civita (um tensor covariante de categoria 3) por vezes se chama o tensor de permutação.

O símbolo de Levi-Civita pode se generalizar a dimensiones mais elevadas:

Ver permutação par ou grupo simétrico para uma definição de 'permutação par' e de 'permutação ímpar'.

Relação com o delta de Kronecker[editar | editar código-fonte]

O símbolo de Levi-Civita relaciona-se com o delta de Kronecker. Em três dimensões, a relação é dada pelas seguintes equações:

Uma consequência importante da relação acima é dada pela equação abaixo:

Como e são diferentes de zero somente para e , respectivamente, o resultado da soma é:

A relação acima é muito utilizada em cálculo vetorial[1].

Uso na dedução de relações do cálculo vetorial[editar | editar código-fonte]

A relação entre o produto de símbolo de Levi-Civita e o produto de deltas de Kronecker permite deduzir com facilidade diversas relações de operações entre vetores e operadores vetoriais. Por exemplo a fórmula abaixo, informalmente conhecida por “BAC-CAB”, pode ser derivada de uma maneira simples e direta utilizando o formalismo acima.

Seja . Sua componente i, como visto acima, pode ser representada por , onde índices repetidos seguem a convenção de Einstein, ou seja, indicam a existência de um somatório no respectivo índice. No caso como há dois índices repetidos há dois somatórios implícitos (em e ).

Da mesma forma , onde o símbolo de Levi-Civita foi definido com os índices para distinguí-lo daquele contido em D com índices e tomando o ultimo índice igual a pois trata-se da componente , pelo menos motivo o índice em refere-se à componente . Expressando em termos de e , a expressão torna-se:

A vantagem de utilizar esse formalismo se deve ao fato de poder utilizar grandezas escalares ao invés de vetoriais o que facilita a sua manipulação. Como todos os termos são escalares pode-se comutá-los:

Utilizando a relação , descrita acima, a expressão pode ser rescrita como:

O termo só é não nulo se, simultaneamente, e , ou seja, resta apenas o termo . Analogamente o termo só é não nulo se, simultaneamente, e , restando apenas o termo . Esse resultado é devido à propriedade da delta de Kronecker.

Usando a comutatividade e associatividade de escalares, tem-se a componente m da relação:

Os termos em parênteses tem índices repetidos e portanto implicam um somatório, em particular, trata-se do produto escalar de dois vetores. Finalmente, expressando o resultado em termos de vetores novamente:

Referências

  1. Aris, Rutherford; Mathematics (1 de janeiro de 1990). Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics (em inglês) unknown edition ed. [S.l.]: Dover Publications. ISBN 9780486661100