Símbolo de Levi-Civita

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Símbolo de Levi-Civita

Em matemática e em particular em cálculo tensorial, define-se símbolo de Levi-Civita, também chamado de símbolo de permutação, como se segue:


\epsilon_{ijk} =
\left\{
\begin{matrix}
+1 & \mbox{se } (i,j,k) \mbox{ é } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ ou } (3,1,2)\\
-1 & \mbox{se } (i,j,k) \mbox{ é } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ ou } (2,1,3)\\
0  & \mbox{de outra maneira: }i=j \mbox{ ou } j=k \mbox{ ou } k=i
\end{matrix}
\right.

nomeado assim por Tullio Levi-Civita. Utiliza-se em muitas áreas das matemática e em física. Por exemplo, em álgebra linear, o produto vectorial de dois vectores pode ser escrito como:



\mathbf{a \times b} =
  \begin{vmatrix}
    \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\
    a_1 & a_2 & a_3 \\
    b_1 & b_2 & b_3 \\
  \end{vmatrix}

= \sum_{i=1}^3 \left(
\sum_{j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} a_j b_k \right) \mathbf{e}_i

ou mais simplesmente:


\mathbf{a \times b} = \mathbf{c},\ c_i = \sum_{j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} a_j b_k

esta última expressão pode ser mais simplificada usando a notação de Einstein, convenção na qual se pode omitir o símbolo de soma. O tensor cujas componentes são dadas pelo símbolo de Levi-Civita (um tensor covariante de categoria 3) por vezes se chama o tensor de permutação.

O símbolo de Levi-Civita pode se generalizar a dimensiones mais elevadas:


\epsilon_{ijkl\dots} =
\left\{
\begin{matrix}
+1 & \mbox{si }(i,j,k,l,\dots) \mbox{ é uma permutação par de } (1,2,3,4,\dots) \\
-1 & \mbox{si }(i,j,k,l,\dots) \mbox{ é uma permutação ímpar de } (1,2,3,4,\dots) \\
0  & \mbox{se dois índices são iguais}
\end{matrix}
\right.

Ver permutação par ou grupo simétrico para uma definição de 'permutação par' e de 'permutação ímpar'.

Relação com o delta de Kronecker[editar | editar código-fonte]

O símbolo de Levi-Civita relaciona-se com o delta de Kronecker. Em três dimensões a relação é dada pelas seguintes equações:



\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} = \det \begin{vmatrix}
\delta_{il} & \delta_{im}& \delta_{in}\\
\delta_{jl} & \delta_{jm}& \delta_{jn}\\
\delta_{kl} & \delta_{km}& \delta_{kn}\\
\end{vmatrix}
 = \delta_{il}\left( \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\right) - \delta_{im}\left( \delta_{jl}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{kl} \right) + \delta_{in} \left( \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl} \right) \,

\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \det \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \delta_{jm}& \delta_{jn}\\
0 & \delta_{km}& \delta_{kn}\\
\end{vmatrix} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}