Sedeniões

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Conjuntos de números

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}\sub\cdots

Naturais \mathbb{N}
Inteiros \mathbb{Z}
Racionais \mathbb{Q}
Reais \mathbb{R}
Imaginários
Complexos \mathbb{C}
Números hiper-reais
Números hipercomplexos

Quaterniões \mathbb{H}
Octoniões \mathbb{O}
Sedeniões \mathbb{S}
Complexos hiperbólicos \mathbb{R}^{1,1}
Quaterniões hiperbólicos
Bicomplexos
Biquaterniões
Coquaterniões
Tessarines

Os sedeniões formam uma álgebra de dezesseis dimensões sobre os números reais. O conjunto dos sedeniões é denotado como \mathbb{S}. Dois tipos são atualmente conhecidos:

1. Sedeniões obtidos pela aplicação da construção de Cayley-Dickson;
2. Sedeniões cônicos (álgebra-M de dezesseis dimensões), depois de Charles Musès - parte do seu conceito de hipernúmero.

Sedeniões de Cayley-Dickson[editar | editar código-fonte]

Aritmética[editar | editar código-fonte]

Como os octoniões (de Cayley-Dickson), a multiplicação de sedeniões de Cayley-Dickson não é nem comutativa nem associativa. Mas, em contraste com os octoniões, os sedeniões não têm nem mesmo a propriedade de serem alternativos. Eles têm, entretanto, a propriedade de serem associativos em relação à potenciação.

Todo sedenião é uma combinação linear real dos sedeniões unitários 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10, e11, e12, e13, e14 e e15, que formam uma base do espaço vetorial dos sedeniões.

Os sedeniões têm um elemento neutro da multiplicação (1) e inversos multiplicativos, mas eles não são uma álgebra da divisão. Isso porque eles têm divisores de zero; isso significa que dois números diferentes de zero podem ser multiplicados e ter um resultado igual a zero: um exemplo trivial é (e3 + e10) (e6 - e15). Todos os sistemas númericos hipercomplexos baseados na construção de Cayley-Dickson dos sedeniões contém divisores de zero.

A tabela de multiplicação desses sedeniões unitários é a seguinte:

× 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15
1 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 e13 e14 e15
e1 e1 -1 e3 -e2 e5 -e4 -e7 e6 e9 -e8 -e11 e10 -e13 e12 e15 -e14
e2 e2 -e3 -1 e1 e6 e7 -e4 -e5 e10 e11 -e8 -e9 -e14 -e15 e12 e13
e3 e3 e2 -e1 -1 e7 -e6 e5 -e4 e11 -e10 e9 -e8 -e15 e14 -e13 e12
e4 e4 -e5 -e6 -e7 -1 e1 e2 e3 e12 e13 e14 e15 -e8 -e9 -e10 -e11
e5 e5 e4 -e7 e6 -e1 -1 -e3 e2 e13 -e12 e15 -e14 e9 -e8 e11 -e10
e6 e6 e7 e4 -e5 -e2 e3 -1 -e1 e14 -e15 -e12 e13 e10 -e11 -e8 e9
e7 e7 -e6 e5 e4 -e3 -e2 e1 -1 e15 e14 -e13 -e12 e11 e10 -e9 -e8
e8 e8 -e9 -e10 -e11 -e12 -e13 -e14 -e15 -1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e9 e9 e8 -e11 e10 -e13 e12 e15 -e14 -e1 -1 -e3 e2 -e5 e4 e7 -e6
e10 e10 e11 e8 -e9 -e14 -e15 e12 e13 -e2 e3 -1 -e1 -e6 -e7 e4 e5
e11 e11 -e10 e9 e8 -e15 e14 -e13 e12 -e3 -e2 e1 -1 -e7 e6 -e5 e4
e12 e12 e13 e14 e15 e8 -e9 -e10 -e11 -e4 e5 e6 e7 -1 -e1 -e2 -e3
e13 e13 -e12 e15 -e14 e9 e8 e11 -e10 -e5 -e4 e7 -e6 e1 -1 e3 -e2
e14 e14 -e15 -e12 e13 e10 -e11 e8 e9 -e6 -e7 -e4 e5 e2 -e3 -1 e1
e15 e15 e14 -e13 -e12 e11 e10 -e9 e8 -e7 e6 -e5 -e4 e3 e2 -e1 -1

Sedeniões cônicos[editar | editar código-fonte]

Aritmética[editar | editar código-fonte]

Em contraste com os sedeniões de Cayley-Dickson, que são contituídos de uma unidade (1) e 15 raízes da unidade negativa (-1), sedeniões cônicos são contituídos de 8 raízes quadradas da unidade positiva e negativa cada. Eles compartilham a não-associatividade e a não-comutatividade com a aritmética dos sedeniões de Cayley-Dickson ("sedeniões circulares"). Entretanto, sedeniões cônicos são modulares, alternativos e flexíveis. Com a exceção de seus nilpotentes, divisores de zero e do próprio zero, a aritmética é fechada em relação à potenciação e às operações com logaritmos. Sedeniões cônicos não são associativos em relação à potenciação.