Sequência de Fibonacci
Na matemática, a sucessão de Fibonacci (ou sequência de Fibonacci), é uma sequência de números inteiros, começando normalmente por 0 e 1, na qual cada termo subsequente corresponde à soma dos dois anteriores. A sequência recebeu o nome do matemático italiano Leonardo de Pisa ou Leonardo Fibonacci, mais conhecido por apenas Fibonacci, que descreveu, no ano de 1202, o crescimento de uma população de coelhos, a partir desta. Esta sequência já era, no entanto, conhecida na antiguidade.
Os números de Fibonacci são, portanto, os números que compõem a seguinte sequência (A000045 na OEIS):
- 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ... .[nota 1][2]
- É importante destacar que a sequência de Fibonacci é infinita. Portanto, o ideal é que você defina um valor que tenha como objetivo e, ao alcançar esse objetivo, você decida uma nova meta para alcançar.[3]
Em termos matemáticos, a sequência é definida recursivamente pela fórmula abaixo, sendo o primeiro termo F1= 1:
e valores iniciais [nota 2][nota 3]
A sequência de Fibonacci tem aplicações na análise de mercados financeiros, na ciência da computação e na teoria dos jogos. Também aparece em configurações biológicas, como, por exemplo, na disposição dos galhos das árvores ou das folhas em uma haste,[4] no arranjo do cone da alcachofra, do abacaxi,[5] ou no desenrolar da samambaia.[6]
Origens
[editar | editar código-fonte]No ocidente, a sequência de Fibonacci apareceu pela primeira vez no livro Liber Abaci (1202) de Leonardo Fibonacci,[7] embora ela já tivesse sido descrita por gregos e indianos.[8][9][10] Fibonacci considerou o crescimento de uma população idealizada (não realista biologicamente) de coelhos. Os números descrevem o número de casais na população de coelhos depois de n meses se for suposto que:
- no primeiro mês nasce apenas 1 casal;
- casais amadurecem de forma sexual (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês de vida;
- não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo;
- todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo casal; e
- os coelhos nunca morrem.
Mas genericamente, chama-se sequência de Fibonacci qualquer função g tal que g(n + 2) = g(n) + g(n + 1). Essas funções são precisamente as de formato g(n) = aF(n) + bF(n + 1) para alguns números a e b, então as sequências de Fibonacci formam um espaço vetorial com as funções F(n) e F(n + 1) como base.
Em particular, a sequência de Fibonacci com F(1) = 1 e F(2) = 3 é conhecida como a sequência de Lucas. A importância dos números de Lucas L(n) reside no fato deles gerarem a Proporção áurea para as n-ésimas potências:
Os números de Lucas se relacionam com os de Fibonacci pela fórmulas:
e
Observando-se que logo e que pois é a solução de e substituindo isso em obtemos a fórmula apenas em termos da raiz positiva: Com esta fórmula podemos montar a sequência de Fibonacci e descobrir, por exemplo, quantos coelhos foram gerados no sexto mês, basta aplicar a fórmula descrita acima até chegar ao ponto inicial de 1 e 1, como mostra a figura abaixo:
Ou seja, no sexto mês foram gerados 8 coelhos.
- F(6) = (F(6 - 1)) + (F(6 - 2)) = 5 e 4 → 8 (Soma do Resultado de F(5) e F(4))
- F(5) = (F(5 - 1)) + (F(5 - 2)) = 4 e 3 → 5 (Soma do Resultado de F(4) e F(3))
- F(4) = (F(4 - 1)) + (F(4 - 2)) = 3 e 2 → 3 (Soma do Resultado de F(3) e F(2))
- F(3) = (F(3 - 1)) + (F(3 - 2)) = 2 e 1 → 2
- F(2) = (F(2 - 1)) + (F(2 - 2)) = 1 e 0 → 1
E a primeira posição 1.
Note que a sequência de Fibonacci esta no resultado de cada posição: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
Representações alternativas
[editar | editar código-fonte]Para analisar a sequência de Fibonacci (e, em geral, quaisquer sequências) é conveniente obter outras maneiras de representá-la matematicamente.
Observação: os números da sequência também podem ser calculados por:
Observe que não é possível reduzir essa expressão à fórmula de recorrência apesar de ambas fornecerem o mesmo resultado na sequência de Fibonacci.
Função geradora
[editar | editar código-fonte]Uma função geradora para uma sequência qualquer é a função ou seja, uma série potências formais em que cada coeficiente é um elemento da sequência. Os números de Fibonacci possuem a seguinte função geradora
Quando se expande esta função em potências de os coeficientes são justamente os termos da sequência de Fibonacci:
Fórmula explícita
[editar | editar código-fonte]Conforme mencionado por Johannes Kepler, a taxa de crescimento dos números de Fibonacci, que é tende à Proporção áurea, denotada por Em outras palavras, (De um modo mais geral, ) Esta é a raiz positiva da equação de segundo grau x² − x − 1 = 0, então φ² = φ + 1. Se multiplicarmos ambos os lados por φn, teremos φn+2 = φn+1 + φn, então a função φn é uma sequência de Fibonacci. É possível demonstrar que a raiz negativa da mesma equação, 1 − φ, tem as mesmas propriedades, então as duas funções φn e (1 − φ)n formam outra base para o espaço.
Ajustando os coeficientes para obter os valores iniciais adequados F(0) = 0 e F(1) = 1, tem-se a fórmula de Binet:
Este resultado também pode ser derivado utilizando-se a técnica de funções geradoras, ou a técnica de resolver relações de recorrência.
Quando n tende a infinito, o segundo termo tende a zero, e os números de Fibonacci tendem à exponencial φn/√5. O segundo termo já começa pequeno o suficiente para que os números de Fibonacci possam ser obtidos usando somente o primeiro termo arredondado para o inteiro mais próximo.
Fórmula de Binet e o Binômio de Newton
[editar | editar código-fonte]Se expandirmos a Fórmula de Binet usando o Binômio de Newton, é possível também escrevê-la em termos racionais, ou seja, nessa forma:
- a) Se for ímpar:
- b) Se for par:
- Ou ainda, de modo equivalente:
onde representa a parte inteira de (n-1)/2.
Função inversa da fórmula de Binet
[editar | editar código-fonte]Para resolver o problema inverso, ou seja, qual a posição que um dado número de Fibonacci ocupa na sequência, existe a função inversa da fórmula de Binet:[11]
1) O número dado é um número de Fibonacci se for um número inteiro e positivo. Como ainda não sabemos o valor de (temos apenas o número que desejamos calcular: o suposto ), há que se testar inicialmente as duas possibilidades. Se for ímpar, então será inteiro, e se for par, então será inteiro.
2) A posição que esse número ocupa na sequência é calculada por: Onde representa a parte inteira de
Exemplos:
1) Dado o número 1597, verifique se ele pertence à sequência de Fibonacci e, em caso afirmativo, determine a sua posição na sequência. Verificamos que é inteiro, o que indica que ele pertence à sequência e neste caso é ímpar.
Aplicando-se a função inversa da fórmula de Binet para
Lembrando que elevado a qualquer número ímpar sempre resulta Logo:
o que significa que 1597 é o 17° número da sequência de Fibonacci. De fato:
2) Verifique se o número pertence ou não à sequência de Fibonacci.
Neste caso, nem e nem são números inteiros, o que indica que não é um número de Fibonacci.
De fato, e
Forma matricial
[editar | editar código-fonte]Para argumentos muito grandes, quando utiliza-se um computador bignum, é mais fácil[carece de fontes] calcular os números de Fibonacci usando a seguinte equação matricial: em que a potência de n é calculada através do produto matricial repetidas vezes.
Um exemplo de aplicação desta expressão matricial é na demonstração do teorema de Lamé sobre o algoritmo de Euclides para o cálculo do MDC.[nota 4]
Tipos de algoritmos
[editar | editar código-fonte]Há diversos algoritmos (métodos) para calcular o -ésimo elemento da sequência de Fibonacci, sendo que os mais comuns empregam um das seguintes abordagens:
- Recursiva
- Iterativa
- Dividir para conquistar
A seguir é apresentado um exemplo de cada um destes tipos de algoritmos em pseudocódigo.
Abordagem recursiva
[editar | editar código-fonte]A própria definição da sequência de Fibonacci pode ser tomada como base para implementar um algoritmo recursivo que gera os termos da sequência, como é mostrado a seguir:
função
- se então
- retorne
- caso contrário
- retorne
Apesar de simples, essa estratégia não é recomendável porque os mesmos valores são calculados muitas vezes (a não ser que a linguagem de programação guarde automaticamente os valores calculados nas chamadas anteriores da mesma função com o mesmo argumento). Uma análise cuidadosa mostra que a complexidade computacional do algoritmo é Por esse motivo, normalmente calcula-se os números de Fibonacci "de baixo para cima",[carece de fontes] começando com os dois valores 0 e 1, e depois repetidamente substituindo-se o primeiro número pelo segundo, e o segundo número pela soma dos dois anteriores.
Uma outra alternativa é fazer uso da fórmula apresentada na seção anterior, que envolve potências da proporção áurea. No entanto, isso pode não ser muito conveniente para valores grandes de n, já que os erros de arredondamento se acumulam e a precisão dos números de ponto flutuante normalmente não será suficiente.
Abordagem iterativa
[editar | editar código-fonte]Com o uso de um algoritmo iterativo como o que é mostrado a seguir, é possível obter a sequência um pouco mais eficientemente:
função
- para de até faça
- retorne
Neste caso, a complexidade computacional do algoritmo é
Abordagem dividir para conquistar
[editar | editar código-fonte]O algoritmo abaixo é bem mais eficiente e baseia-se na representação matricial da sequência de Fibonacci. Sua complexidade computacional é
função
- se então
- retorne
- enquanto faça
- se é impar então
- retorne
Algoritmo em C
[editar | editar código-fonte]O algoritmo abaixo é um exemplo de como escrever um código simples em C para encontrar a sequência de Fibonacci.
#include <stdio.h>
main(){
int N, num, numA, numB, i;
printf("Digite quantos termos devem aparecer.\n");
scanf("%d", &N);
numA = 1; numB = 0; i = 0;
while(i < N){
printf("%d, ", numA);
num = numA + numB;
numB = numA;
numA = num;
i++;
}
}
Aplicações
[editar | editar código-fonte]Os números de Fibonacci são importantes para a análise em tempo real do algoritmo euclidiano, para determinar o máximo divisor comum de dois números inteiros.
Matiyasevich mostrou que os números de Fibonacci podem ser definidos por uma Equação diofantina, o que o levou à solução original do Décimo Problema de Hilbert.
Os números de Fibonacci aparecem na fórmula das diagonais de um triângulo de Pascal (veja coeficiente binomial).
Um uso interessante da sequência de Fibonacci é na conversão de milhas para quilômetros. Por exemplo, para saber aproximadamente a quantos quilômetros 5 milhas correspondem, pega-se o número de Fibonacci correspondendo ao número de milhas (5) e olha-se para o número seguinte (8). 5 milhas são aproximadamente 8 quilômetros. Esse método funciona porque, por coincidência, o fator de conversão entre milhas e quilômetros (1 609) é próximo de φ (1 618) (obviamente ele só é útil para aproximações bem grosseiras: além do factor de conversão ser diferente de φ, a série converge para φ).
Em música os números de Fibonacci são utilizados para a afinação, tal como nas artes visuais, determinar proporções entre elementos formais. Um exemplo é a Música para Cordas, Percussão e Celesta de Béla Bartók.
Le Corbusier usou a sequência de Fibonacci na construção do seu modulor, um sistema de proporções baseadas no corpo humano e aplicadas ao projeto de arquitetura.
Em The Wave Principal, Ralph Nelson Elliot defende a ideia que as flutuações do mercado seguem um padrão de crescimento e decrescimento que pode ser analisado segundo os números de Fibonacci, uma vez determinada a escala de observação. Defende que as relações entre picos e vales do gráfico da flutuação de bolsa tendem a seguir razões numéricas aproximadas das razões de dois números consecutivos da sequência de Fibonacci.
Teorias mais recentes, defendem que é possível encontrar relações “de ouro” entre os pontos de pico e os de vale, como no gráfico abaixo:
Se tomarmos o valor entre o início do ciclo e o primeiro pico, e o compararmos com o valor entre este pico e o pico máximo, encontraremos também o número de ouro. O ciclo, naturalmente, pode estar invertido, e os momentos de pico podem se tornar momentos de vale, e vice-versa.
Generalizações
[editar | editar código-fonte]Uma generalização da sequência de Fibonacci são as sequências de Lucas. Um tipo pode ser definido por:
onde a sequência normal de Fibonacci é o caso especial de e Outro tipo de sequência de Lucas começa com Tais sequências têm aplicações na Teoria de Números e na prova que um dado número é primo (primalidade).
Os polinômios de Fibonacci são outra generalização dos números de Fibonacci.
Identidades
[editar | editar código-fonte]- onde denota a parte inteira de n/2.[13]
- (Onde [14]
Além disso,
- (da definição)
- (usando a identidade telescópica)
Esta fórmula pode ser provada por indução. Para é evidente. Supondo o resultado certo para Ou heuristicamente
Outras propriedades
[editar | editar código-fonte]1) Considerando-se os inteiros positivos e então : Prova:
- Para
- Para
- Supondo para todo com e usando-se o princípio da Indução Matemática,
- Somando-se membro a membro e considerando a fórmula recursiva,
Isso vale também para Logo, fazendo-se a substituição:
- 2) Se é divisível por então é divisível por
- Prova: para algum inteiro não negativo. Hipótese de indução: e é divisível por
- Pela propriedade 1, citada acima:
- Como e são divisíveis por pela hipótese de indução, então
divide a soma desses dois produtos, quer dizer: é divisível por
- 3) Se é o máximo divisor comum (mdc) de e então o máximo divisor comum de e é igual a
- Prova:
- Se o mdc é 1 e mdc de e é Se não há o que provar.
- Se é maior ou igual a e menor que
Consequentemente, o máximo divisor comum de e é igual ao mdc de e ou seja, de e
- Pela hipótese de indução:
4) (Teorema de Zeckendorf).[15] "Todo número inteiro positivo pode ser representado unicamente como a soma de números de Fibonacci de índices não consecutivos e maiores que 1."
5) Definindo os números e são as medidas de comprimento dos lados de um triângulo cuja área é unidade.
Número Tribonacci
[editar | editar código-fonte]Um número Tribonacci assemelha-se a um número de Fibonacci, mas em vez de começarmos com dois termos pré-definidos, a sequência é iniciada com três termos pré-determinados, e cada termo posterior é a soma dos três termos precedentes. Os primeiros números de uma pequena sequência Tribonacci são: 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415, 223317, etc.[16]
Forma explícita dos números de Tribonacci[17]
[editar | editar código-fonte]De modo semelhante à sequência de Fibonacci, é possível obter a forma explícita de um número Tribonacci e e
Sendo e as soluções da equação:
Então:
Função geradora
[editar | editar código-fonte]
Sequências recursivas semelhantes à de Fibonacci de modo geral
[editar | editar código-fonte]De modo semelhante aos resultados obtidos sobre a sequência de Fibonacci apresentados acima, é possível descobrir, por raciocínios semelhantes, propriedades de sequências da forma onde e são números reais.
Tomemos, como exemplo, a sequência definida recursivamente por com
É a sequência
De modo semelhante à sequência de Fibonacci, ao dividirmos um de seus termos pelo seu antecessor, o resultado também tenderá a um número real, só que neste caso é Ou seja,
A propósito, o número é conhecido como "Razão de prata" ou "Silver ratio"[18][19]
Também é possível obter fórmulas explícitas para calcular cada termo em função de neste caso o resultado é cada vez mais preciso à medida que aumenta, até que a partir de o resultado é exato. As fórmulas explícitas dessa sequência são:
e
A tabela a seguir mostra os resultados para os 22 primeiros números dessa sequência:
(pela fórmula recursiva) |
||||
---|---|---|---|---|
1 | 1 | 0,414213562373095 | 0,585786437626905 | |
2 | 1 | 1,24264068711929 | 1,17157287525381 | 1 |
3 | 3 | 2,89949493661166 | 2,92893218813452 | 3 |
4 | 7 | 7,04163056034261 | 7,02943725152286 | 2,33333333333333 |
5 | 17 | 16,9827560572969 | 16,9878066911802 | 2,42857142857143 |
6 | 41 | 41,0071426749364 | 41,0050506338833 | 2,41176470588235 |
7 | 99 | 98,9970414071697 | 98,9979079589469 | 2,41463414634146 |
8 | 239 | 239,001225489276 | 239,000866551777 | 2,41414141414141 |
9 | 577 | 576,999492385721 | 576,999641062501 | 2,41422594142259 |
10 | 1393 | 1393,00021026072 | 1393,00014867678 | 2,41421143847487 |
11 | 3363 | 3362,99991290716 | 3362,99993841606 | 2,41421392677674 |
12 | 8119 | 8119,00003607503 | 8119,0000255089 | 2,41421349985132 |
13 | 19601 | 19600,9999850572 | 19600,9999894339 | 2,41421357310014 |
14 | 47321 | 47321,0000061895 | 47321,0000043766 | 2,41421356053263 |
15 | 114243 | 114242,999997436 | 114242,999998187 | 2,41421356268887 |
16 | 275807 | 275807,000001062 | 275807,000000751 | 2,41421356231892 |
17 | 665857 | 665856,99999956 | 665856,999999688 | 2,41421356238239 |
18 | 1607521 | 1607521,00000018 | 1607521,00000013 | 2,4142135623715 |
19 | 3880899 | 3880898,99999992 | 3880898,99999994 | 2,41421356237337 |
20 | 9369319 | 9369319,00000002 | 9369319,00000001 | 2,41421356237305 |
21 | 22619537 | 22619537 | 22619537 | 2,4142135623731 |
22 | 54608393 | 54608393 | 54608393 | 2,41421356237309 |
Perceba, por exemplo, que nessa sequência é válido que:
Outro exemplo, seja a sequência definida por com e onde e são números reais. Sendo o n-ésimo termo da sequência de Fibonacci, então
onde
A Sequência de Fibonacci na natureza
[editar | editar código-fonte]A sequência de Fibonacci está intrinsecamente ligada à natureza. Estes números são facilmente encontrados no arranjo de folhas do ramo de uma planta, em copas das árvores ou até mesmo no número de pétalas das flores.
As sementes das flores, frutos e, de forma particularmente interessante, as pinhas, trazem no seu escopo natural esta sequência. Como esta proporção trata-se de uma sucessão numérica, é possível perceber, em vários traços notáveis, a manifestação desta em muitos aspectos da natureza de maneira estética e funcional. Tal linha de análise é, muitas vezes, utilizada como base explicativa para a teoria criacionista denominada Design Inteligente.
Nautilus
[editar | editar código-fonte]Na espiral do nautilus, por exemplo, pode ser facilmente percebida a sequência de Fibonacci. A composição de quadrados com lados de medidas proporcionais aos números da sequência mostram a existência desta sucessão numérica nesta peça natural.
O primeiro quadrado terá os lados com medida 1, o segundo também, o terceiro terá os seus lados com medida 2, o quarto com medida 3, o quinto com medida 5, o sexto com medida 8 e, assim, sucessivamente.
Anatomia humana - dentição
[editar | editar código-fonte]Vistos frontalmente, os dentes anteriores estão na proporção áurea entre si. Por exemplo, a largura do incisivo central está proporcional à largura do incisivo lateral, assim como o incisivo lateral está proporcional ao canino, e o canino ao primeiro pré-molar.
O segmento “incisivo central até o primeiro pré-molar” se encontra na proporção áurea em relação ao canto da boca (final do sorriso). A altura do incisivo central está na proporção áurea em relação à largura dos dois centrais Na face relaxada, a linha dos lábios divide o terço inferior da face nos segmentos da proporção áurea: “da ponta do nariz à linha dos lábios” e “da linha dos lábios até o queixo” (retângulo de ouro).
A espiral
[editar | editar código-fonte]Na espiral formada pela folha de uma bromélia, pode ser percebida a sequência de Fibonacci, através da composição de quadrados com arestas de medidas proporcionais aos elementos da sequência, por exemplo: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… , tendentes à razão áurea. Este mesmo tipo de espiral também pode ser percebida na concha do Nautilus marinho.
Arranjos nas folhas
[editar | editar código-fonte]Os arranjos das folhas de algumas plantas em torno do caule são números de Fibonacci. Com este arranjo, todas as folhas conseguem apanhar os raios solares uniformemente. Esta formação, em caso de chuva, também facilita o escoamento da água na planta.
Reprodução das abelhas
[editar | editar código-fonte]A seqüência de Fibonacci descreve perfeitamente a reprodução das abelhas. Recentemente, uma análise matemática-histórica do contexto e da proximidade com a cidade de "Bugia" (que é derivado da versão francesa do nome desta cidade, ou seja "Bougie", que significa "vela" em francês), importante exportadora de cera na época de Leonardo de Pisa, sugeriu ele, fez o que realmente a abelha-produtores de Bugia e o conhecimento das linhagens de abelhas que inspirou os números da seqüência de Fibonacci, em vez de o modelo de reprodução de coelhos.[20]
A Sequência de Fibonacci no cinema
[editar | editar código-fonte]O filme Pi de Darren Aronofsky apresenta várias referências à sequência de Fibonacci. Seu protagonista é Maximillian "Max" Cohen (Sean Gullette), um matemático brilhante e atormentado que tenta decodificar o padrão numérico do mercado de ações. Em uma cena, Max desenha quadrados com arestas de medidas proporcionais aos elementos da sequência de Fibonacci e os sobrepõe ao desenho do Homem Vitruviano de Leonardo da Vinci, trazendo-lhe certezas às suas convicções de que a matemática é a linguagem da natureza. Em outra cena, Max apanha uma concha em uma praia e observa a espiral nela descrita. Em outro trecho do filme, Max encontra o judeu Lenny Meyer, que lhe fala da crença em que a Torah seria uma sequência de números que formam um código enviado por Deus, quando entendidas as correspondências entre as letras do alfabeto hebraico a números. Max diz que alguns dos conceitos apresentados por Lenny são similares a uma sequência de Fibonacci.
A sequência também é tema de um episódio da série Touch da Rede FOX e de Criminal Minds, no canal AXN.
Em O Código Da Vinci, a sequência de Fibonacci foi usada como um código, mas também para confundir os personagens.
Repfigits
[editar | editar código-fonte]Um repfigit ou número de Keith é um número inteiro, superior a 9, tal que os seus dígitos, ao começar uma sequência de Fibonacci, alcançam posteriormente o referido número. Um exemplo é 47, porque a sequência de Fibonacci que começa com 4 e 7 (4, 7, 11, 18, 29, 47) alcança o 47. Outro exemplo é 197: 1+9+7= 17, 9+7+17= 33, 7+17+33= 57, 17+33+57= 107, 33+57+107= 197.
Um repfigit pode ser uma sequência de Tribonacci se houver três dígitos no número, e de Tetranacci se o número tiver quatro dígitos, etc.
Alguns Números de Keith conhecidos: 14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285…
Definição
[editar | editar código-fonte]Um número Keith é um inteiro positivo N que aparece como um termo em uma relação de recorrência linear com termos iniciais com base nas suas próprias casas decimais. Dado um número número de quatro dígitos:
uma sequência é formada com condições iniciais e com um termo geral produzido como a soma dos anteriores termos. Se o número N aparece na sequência então dizemos que é um número de Keith. Números de um dígito possuem a propriedade Keith trivialmente, e normalmente são excluídos.
Tabela com os 94 primeiros números de Keith[21]
[editar | editar código-fonte]1 | 14 |
2 | 19 |
3 | 28 |
4 | 47 |
5 | 61 |
6 | 75 |
7 | 197 |
8 | 742 |
9 | 1104 |
10 | 1537 |
11 | 2208 |
12 | 2580 |
13 | 3684 |
14 | 4788 |
15 | 7385 |
16 | 7647 |
17 | 7909 |
18 | 31331 |
19 | 34285 |
20 | 34348 |
21 | 55604 |
22 | 62662 |
23 | 86935 |
24 | 93993 |
25 | 120284 |
26 | 129106 |
27 | 147640 |
28 | 156146 |
29 | 174680 |
30 | 183186 |
31 | 298320 |
32 | 355419 |
33 | 694280 |
34 | 925993 |
35 | 1084051 |
36 | 7913837 |
37 | 11436171 |
38 | 33445755 |
39 | 44121607 |
40 | 129572008 |
41 | 251133297 |
42 | 24769286411 |
43 | 96189170155 |
44 | 171570159070 |
45 | 202366307758 |
46 | 239143607789 |
47 | 296658839738 |
48 | 1934197506555 |
49 | 8756963649152 |
50 | 43520999798747 |
51 | 74596893730427 |
52 | 97295849958669 |
53 | 120984833091531 |
54 | 270585509032586 |
55 | 754788753590897 |
56 | 3621344088074041 |
57 | 3756915124022254 |
58 | 4362827422508274 |
59 | 11812665388886672 |
60 | 14508137312404344 |
61 | 16402582054271374 |
62 | 69953250322018194 |
63 | 73583709853303061 |
64 | 119115440241433462 |
65 | 166308721919462318 |
66 | 301273478581322148 |
67 | 1362353777290081176 |
68 | 3389041747878384662 |
69 | 5710594497265802190 |
70 | 5776750370944624064 |
71 | 6195637556095764016 |
72 | 12763314479461384279 |
73 | 27847652577905793413 |
74 | 45419266414495601903 |
75 | 855191324330802397989 |
76 | 7657230882259548723593 |
77 | 26842994422637112523337 |
78 | 36899277593852609997403 |
79 | 61333853602129819189668 |
80 | 229146413136585558461227 |
81 | 9838678687915198599200604 |
82 | 18354972585225358067718266 |
83 | 19876234926457288511947945 |
84 | 98938191214220718050301312 |
85 | 133118411174059688391045955 |
86 | 153669354455482560987178342 |
87 | 154140275428339949899922650 |
88 | 154677881401007799974564336 |
89 | 295768237361291708645227474 |
90 | 956633720464114515890318410 |
91 | 988242310393860390066911414 |
92 | 9493976840390265868522067200 |
93 | 41796205765147426974704791528 |
94 | 70267375510207885242218837404 |
Notas e referências
Notas
- ↑ Pela convenção moderna a sequência inicial começa por F0 = 0. No livro Liber Abaci (veja Seção Origens) esta começava com F1 = 1, omitindo-se o zero inicial.
- ↑ Ou, de acordo com a nota:
- ↑ Pode ser representada também pela fórmula matemática:
- ↑ Veja por exemplo o capítulo sobre o máximo divisor comum do wikilivro de Teoria de números.
Referências
- ↑ Andean Calculators
- ↑ Lista com os 2000 primeiros números da sequência de Fibonacci. <https://oeis.org/A000045/b000045.txt>. Consultado em 09 de maio de 2016
- ↑ «Sequência Fibonacci». 13 de fevereiro de 2022
- ↑ S. Douady and Y. Couder (1996). «Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process» (PDF). Journal of Theoretical Biology. 178 (178): 255–274. doi:10.1006/jtbi.1996.0026. Consultado em 20 de janeiro de 2011. Arquivado do original (PDF) em 26 de maio de 2006
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- ↑ Donald Knuth (1968). The Art Of Computer Programming, Volume 1. [S.l.]: Addison Wesley. ISBN 8177587544 Parâmetro desconhecido
|notes=
ignorado (ajuda) - ↑ Mathematics - "How can I find an inverse to the Binet formula?". <http://math.stackexchange.com/questions/374758/how-can-i-find-an-inverse-to-the-binet-formula>. Consultado em 09 de maio de 2016.
- ↑ Propriedades matemáticas dos números de Fibonacci. <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib1.htm Arquivado em 4 de maio de 2016, no Wayback Machine.>. Consultado em 06 de maio de 2016.
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- ↑ A000073 OEIS
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- ↑ Scott, T.C.; Marketos, P. (março de 2014), On the Origin of the Fibonacci Sequence (PDF), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
- ↑ OEIS/A007629-Lista dos 94 primeiros números de Keith< http://oeis.org/A007629/b007629.txt >
Ver também
[editar | editar código-fonte]Ligações externas
[editar | editar código-fonte]- (sequência A000045 na OEIS), On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- «O número de ouro e a sequência de Fibonacci». UFF
- «The Golden Section: Phi» (em inglês). University of Surrey
- «Implementações do algoritmo em diversas linguagens de programação». Rosetta Code