Sequência de Padovan
Em teoria dos números, a sequência de Padovan é a sequência de inteiros P(n) definida[1] pelos valores iniciais
Os primeiros valores de P(n) são
- 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, ... (sequência A000931 na OEIS)
A sequência de Padovan é denominada em memória de Richard Padovan, que atribuiu sua descoberta ao arquiteto neerlandês Hans van der Laan em seu ensaio de 1994 Dom. Hans van der Laan : Modern Primitive.[2] A sequência foi descrita por Ian Stewart em sua coluna na Scientific American Mathematical Recreations em junho de 1996.[3] Ele também escreve sobre ela em um de seus livros, "Math Hysteria: Fun Games With Mathematics". [4]
A definição acima é aquela dada por Ian Stewart e por MathWorld. Outras fontes podem começar a sequência com valores diferentes, e neste caso algumas das identidades neste artigo devem ser ajustadas com deslocamentos apropriados.
Relações de recorrência
[editar | editar código-fonte]Na espiral, cada triângulo compartilha um lado com dois outros, dando uma prova visual de que a sequência de Padovan também satisfaz a relação de recorrência
A partir disso, a recorrência de definição e outras recorrências à medida que são descobertas, pode-se criar um número infinito de recorrências adicionais substituindo repetidamente by .
A sequência de Perrin satisfaz as mesmas relações de recorrência que a sequência de Padovan, embora tenha valores iniciais diferentes. Esta é uma propriedade das relações de recorrência.
A sequência de Perrin pode ser obtida da sequência de Padovan pela fórmula
Extensão para parâmetros negativos
[editar | editar código-fonte]Como em qualquer sequência definida por uma relação de recorrência, os números de Padovan P(m) para m<0 podem ser definidos reescrevendo a relação de recorrência como
Começando com m = −1 e avançando no sentido negativo, estendemos P(m) para índices negativo:
P−20 P−19 P−18 P−17 P−16 P−15 P−14 P−13 P−12 P−11 P−10 P−9 P−8 P−7 P−6 P−5 P−4 P−3 P−2 P−1 P0 P1 P2 7 −7 4 0 −3 4 −3 1 1 −2 2 −1 0 1 −1 1 0 0 1 0 1 1 1
Soma de termos
[editar | editar código-fonte]A soma dos primeiros n termos da sequência de Padovan é 2 unidades menos que P(n + 5), isto é
Somas de termos alternados, somas de todos os terceiros termos e somas de todos os quintos termos são também relacionadas com outros termos na sequência:
Somas envolvendo produtos de termos da sequência de Padovan satisfazem as seguintes identidades:
Outras identidades
[editar | editar código-fonte]A sequência de Padovan também satisfaz a identidade
A sequência de Padovan é relacionada a somas dos coeficientes binomiais pela identidade
Por exemplo, para k = 12, os valores para o par (m, n) com 2m + n = 12 que resultam em coeficientes binomiais não-nulos são (6, 0), (5, 2) e (4, 4), e:
Fórmulas do tipo Binet
[editar | editar código-fonte]Os números da sequência de Padovan podem ser escritos em termos de potências das raízes da equação[1]
Esta equação tem 3 raízes; uma raiz real p (conhecida como número plástico) e duas raízes complexas conjugadas q e r.[5] dadas estas três raízes, a sequência de Padovan pode ser expressa por uma fórmula envolvendo p, q e r:
onde a, b e c são constantes.[1]
Como a magnitude das raízes complexas q e r são ambas menores que 1 (e portante p é um número de Pisot–Vijayaraghavan), as potências destas raízes convergem para 0 para grande n, e tende a zero.
Para todo , P(n) é o inteiro mais próximo de , onde s = p/a = 1.0453567932525329623... é a única raiz real de s3 − 2s2 + 23s − 23 = 0. A razão de termos sucessivos na sequência de Padovan converge para p, que tem um valor de aproximadamente 1.324718. Esta constante apresenta a mesma relação com a sequência de Padovan e a sequência de Perrin como a proporção áurea tem com a sequência de Fibonacci.
Triângulo de Pascal
[editar | editar código-fonte]Erv Wilson em seu artigo The Scales of Mt. Meru[6] observou determinadas diagonais no triângulo de Pascal (ver diagrama) e marcou-os em papel em 1993. Os números de Padovan foram descobertos em 1994. Paul Barry (2004) mostrou que estas diagonais geram a sequência de Padovan somando os números diagonais.
Referências
- ↑ a b c Weisstein, Eric W. «Padovan Sequence». MathWorld (em inglês).
- ↑ Richard Padovan. Dom Hans van der Laan: modern primitive: Architectura & Natura Press, ISBN 9789071570407.
- ↑ Ian Stewart, Tales of a Neglected Number, Scientific American, No. 6, June 1996, pp. 92-93.
- ↑ Ian Stewart (2004), Math hysteria: fun and games with mathematics, ISBN 978-0-19-861336-7, Oxford University Press, p. 87.
- ↑ Richard Padovan, "Dom Hans Van Der Laan and the Plastic Number", pp. 181-193 in Nexus IV: Architecture and Mathematics, eds. Kim Williams and Jose Francisco Rodrigues, Fucecchio (Florence): Kim Williams Books, 2002.
- ↑ Erv Wilson (1993), Scales of Mt. Meru
- Ian Stewart, A Guide to Computer Dating (Feedback), Scientific American, Vol. 275, No. 5, novembro de 1996, p. 118.