Simetria rotacional

A simetria rotacional, também conhecida como simetria radial na geometria, é a propriedade que uma forma tem quando parece a mesma após alguma rotação por uma volta parcial. O grau de simetria rotacional de um objeto é o número de orientações distintas nas quais ele parece exatamente o mesmo para cada rotação.

Certos objetos geométricos são parcialmente simétricos quando girados em certos ângulos, como quadrados girados 90°, entretanto, os únicos objetos geométricos que são totalmente simétricos rotacionalmente em qualquer ângulo são esferas, círculos e outros esferoides.^[1]^[2]

Tratamento formal

Formalmente, a simetria rotacional é a simetria em relação a algumas ou todas as rotações no espaço euclidiano m-dimensional. Rotações são isometrias diretas, ou seja, isometrias que preservam a orientação. Portanto, um grupo de simetria de simetria rotacional é um subgrupo de $E + (m)$ (ver grupo euclidiano).

A simetria em relação a todas as rotações em torno de todos os pontos implica simetria translacional em relação a todas as translações, portanto o espaço é homogêneo e o grupo de simetria é o $E (m)$ inteiro. Com a noção modificada de simetria para campos vetoriais, o grupo de simetria também pode ser $E + (m)$ .

Para simetria em relação a rotações em torno de um ponto, podemos tomar esse ponto como origem. Essas rotações formam o grupo ortogonal especial $SO(m)$ , o grupo de matrizes ortogonais $m \times m$ com determinante 1. Para $m = 3$ , este é o grupo de rotação $SO(3)$ .

Em outra definição da palavra, o grupo de rotação de um objeto é o grupo de simetria dentro de $E + (n)$ , o grupo de isometrias diretas; em outras palavras, a interseção do grupo de simetria total e do grupo de isometrias diretas. Para objetos quirais, é o mesmo que o grupo de simetria total.

As leis da física são SO(3)-invariantes se não distinguem diferentes direções no espaço. Devido ao teorema de Noether, a simetria rotacional de um sistema físico é equivalente à lei de conservação do momento angular.

Simetria rotacional discreta

Simetria rotacional de ordem $n$ , também chamada de simetria rotacional discreta de e $n$ ésima ordem e, em relação a um ponto específico (em 2D) ou eixo (em 3D) significa que a rotação por um ângulo de ⁠ ${\tfrac {360^{\circ }}{n}}$ ⁠⁠ (180°, 120°, 90°, 72°, 60°, 51 3⁄7°, etc.) não altera o objeto. Uma simetria de "ordem 1" não é simetria (todos os objetos parecem iguais após uma rotação de 360°).

A notação para simetria de ordem $n$ é $C n$ ou simplesmente $n$ . O grupo de simetria real é especificado pelo ponto ou eixo de simetria, juntamente com o $n$ . Para cada ponto ou eixo de simetria, o tipo de grupo abstrato é um grupo cíclico de ordem $n$ , $Z n$ . Embora para este último também seja utilizada a notação $C n$ , deve-se distinguir entre $C n$ geométrico e abstrato: existem outros grupos de simetria do mesmo tipo de grupo abstrato que são geometricamente diferentes.

O domínio fundamental é um setor de ⁠ ${\tfrac {360^{\circ }}{n}}$ ⁠.

Exemplos sem simetria de reflexão adicional:

$n = 2$ , 180°: a díade; letras Z, N, S; os contornos, embora não as cores, do símbolo yin e yang; a bandeira do Reino Unido (dividida ao longo da diagonal da bandeira e girada em torno do ponto central da bandeira)

$n = 3$ , 120°: tríade, tríscele, anéis borromeanos; às vezes, o termo simetria trilateral é usado;

$n = 4$ , 90°: tétrade, suástica
$n = 5$ , 72°: pêntade, pentagrama, pentágono regular; a simetria quíntupla não é possível em cristais periódicos.
$n = 6$ , 60°: hexade, Estrela de Davi (esta possui simetria de reflexão adicional)
$n = 8$ , 45°: octade, teto de mucarnas octogonais, gerado por computador (CG)

$C n$ é o grupo de rotação de um polígono regular de $n$ lados em 2D e de uma pirâmide regular de $n$ lados em 3D.

Se houver, por exemplo, simetria rotacional em relação a um ângulo de 100°, então também em relação a um ângulo de 20°, o máximo divisor comum de 100° e 360°.

Um objeto 3D típico com simetria rotacional (possivelmente também com eixos perpendiculares), mas sem simetria de espelho, é uma hélice.

Exemplos

$C 2$ (mais)	$C 3$ (mais)	$C 4$ (mais)	$C 5$ (mais)	$C 6$ (mais)
Fractal de pêndulo duplo	Sinal de trânsito de rotatória	Símbolo de reciclagem de Taiwan	Estrela do Bicentenário dos EUA	Emblema de Fujieda, Shizuoka
A posição inicial no shogi	O design dos chifres de bebida interligados da Pedra Snoldelev

Eixos de simetria múltiplos passando pelo mesmo ponto

Para simetria discreta com múltiplos eixos de simetria passando pelo mesmo ponto, existem as seguintes possibilidades:

Além de um eixo de ordem $n$ , $n$ eixos de ordem 2 perpendiculares: os grupos diedros $D n$ de ordem $2 n$ ( $n \geq 2$ ). Este é o grupo de rotação de um prisma regular ou bipirâmide regular. Embora a mesma notação seja usada, o $D n$ geométrico e o abstrato devem ser distinguidos: existem outros grupos de simetria do mesmo tipo de grupo abstrato que são geometricamente diferentes (ver grupos de simetria diedral em 3D).
Eixos de ordem 4×3 e ordem 3×2: o grupo de rotação $T$ de ordem 12 de um tetraedro regular. O grupo é isomorfo ao grupo alternando $A 4$ .
Eixos de ordem 3×4, ordem 4×3 e ordem 6×2: o grupo de rotação de ordem 24 de um cubo e um octaedro regular. O grupo é isomorfo ao grupo simétrico $S 4$ .
Eixos de ordem 6×5, 10×3 e 15×2: o grupo de rotação $I$ de ordem 60 de um dodecaedro e um icosaedro. O grupo é isomorfo ao grupo alternante $A 5$ . O grupo contém 10 versões de $D 3$ e 6 versões de $D 5$ (simetrias rotacionais como prismas e antiprismas).

No caso dos sólidos platônicos, os eixos de ordem 2 passam pelos pontos médios de arestas opostas, e o número deles é metade do número de arestas. Os outros eixos passam por vértices opostos e por centros de faces opostas, exceto no caso do tetraedro, onde os eixos de ordem 3 passam cada um por um vértice e pelo centro de uma face.

Simetria rotacional em relação a qualquer ângulo

A simetria rotacional em relação a qualquer ângulo é, em duas dimensões, simetria circular. O domínio fundamental é uma semirreta.

Em três dimensões, podemos distinguir simetria cilíndrica e simetria esférica (sem alteração ao girar em torno de um eixo, ou para qualquer rotação). Ou seja, sem dependência do ângulo usando coordenadas cilíndricas e sem dependência de qualquer ângulo usando coordenadas esféricas. O domínio fundamental é um semiplano que passa pelo eixo e uma semirreta radial, respectivamente. Axissimétrico é um adjetivo que se refere a um objeto com simetria cilíndrica, ou axissimetria (ou seja, simetria rotacional em relação a um eixo central), como uma rosquinha (toro). Um exemplo de simetria esférica aproximada é a Terra (com relação à densidade e outras propriedades físicas e químicas).

Em 4D, a simetria rotacional contínua ou discreta em torno de um plano corresponde à simetria rotacional 2D correspondente em cada plano perpendicular, em torno do ponto de intersecção. Um objeto também pode ter simetria rotacional em torno de dois planos perpendiculares, por exemplo, se for o produto cartesiano de duas figuras 2D com simetria rotacional, como no caso, por exemplo, do duocilindro e de vários duoprismas regulares.

Simetria rotacional com simetria translacional

Arranjo dentro de uma célula primitiva de rotocentros de ordens 2 e 4. Um domínio fundamental é indicado em amarelo.	Arranjo dentro de uma célula primitiva de rotocentros de ordens 2, 3 e 6, isoladamente ou em combinação (considere o símbolo de ordem 6 como uma combinação de um símbolo de ordens 2 e 3); no caso de simetria de ordem 2, a forma do paralelogramo pode ser diferente. Para o caso p6, um domínio fundamental é indicado em amarelo.

A simetria rotacional de ordem 2, juntamente com a simetria translacional simples, é um dos grupos de frisos. Um rotocentro é o ponto fixo, ou invariante, de uma rotação.^[3] Existem dois rotocentros por célula primitiva.

Juntamente com a simetria translacional dupla, os grupos de rotação são os seguintes grupos de papel de parede, com eixos por célula primitiva:

p2 (2222): ordem 4×2; grupo de rotação de uma rede paralelogramática, retangular e rômbica.
p3 (333): ordem 3×3; não é o grupo de rotação de nenhuma rede (toda rede é a mesma de cabeça para baixo, mas isso não se aplica a esta simetria); é, por exemplo, o grupo de rotação do mosaico triangular regular com os triângulos equiláteros alternadamente coloridos.
p4 (442): ordens 2×4, 2×2; grupo de rotação de uma rede quadrada.
p6 (632): ordens 1×6, 2×3, 3×2; grupo de rotação de uma rede hexagonal.
Rotocentros de ordem 2 (incluindo possíveis ordens 4 e 6), se presentes, formam a translação de uma rede igual à rede translacional, escalonada por um fator de 1/2. No caso da simetria translacional em uma dimensão, uma propriedade semelhante se aplica, embora o termo "rede" não se aplique.
Rotocentros de ordem 3 (incluindo possíveis de ordem 6), se presentes, formam uma rede hexagonal regular igual à rede translacional, rotacionada em 30° (ou equivalentemente 90°) e dimensionada por um fator ${\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}$
Rotocentros de ordem 4, se presentes, formam uma rede quadrada regular igual à rede translacional, rotacionada em 45° e dimensionada por um fator ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$
Rotocentros de ordem 6, se presentes, formam uma rede hexagonal regular que é a translação da rede translacional.

A escala de uma rede divide o número de pontos por unidade de área pelo quadrado do fator de escala. Portanto, o número de rotocentros de de ordens 2, 3, 4 e 6 por célula primitiva é 4, 3, 2 e 1, respectivamente, incluindo novamente o de ordem 4 como um caso especial do de ordem 2, etc.

A simetria rotacional de ordem 3 em um ponto e de ordem 2 em outro (ou o mesmo em 3D em relação a eixos paralelos) implica o grupo de rotação p6, ou seja, simetria translacional dupla e simetria rotacional de ordem 6 em algum ponto (ou, em 3D, eixo paralelo). A distância de translação para a simetria gerada por um desses pares de rotocentros é ordem $2{\sqrt {3}}$ vezes a distância entre eles.

Plano euclidiano	Plano hiperbólico
Mosaico triangular hexakis, um exemplo de p6, [6,3]⁺, (632) (com cores) e p6m, [6,3], (*632) (sem cores); as linhas são eixos de reflexão se as cores forem ignoradas, e um tipo especial de eixo de simetria se as cores não forem ignoradas: a reflexão reverte as cores. Grades de linhas retangulares em três orientações podem ser distinguidas.	Ordem 3-7 kisrhombille, um exemplo de simetria [7,3]⁺ (732) e [7,3], (*732) (sem cores)

Ver também

Referências

↑ Rotational symmetry of Weingarten spheres in homogeneous three-manifolds. By Jos ́e A. G ́alvez, Pablo Mira
↑ Topological Bound States in the Continuum in Arrays of Dielectric Spheres. By Dmitrii N. Maksimov, LV Kirensky Institute of Physics, Krasnoyarsk, Russia
↑ Loeb, A.L. (1971). Color and Symmetry, Wiley-Interscience, New York, p.2. ISBN 9780471543350, OCLC 163904

Weyl, Hermann (1982) [1952]. Symmetry. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3

Ligações externas

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[1] Rotational symmetry of Weingarten spheres in homogeneous three-manifolds. By Jos ́e A. G ́alvez, Pablo Mira

[2] Topological Bound States in the Continuum in Arrays of Dielectric Spheres. By Dmitrii N. Maksimov, LV Kirensky Institute of Physics, Krasnoyarsk, Russia

[3] Loeb, A.L. (1971). Color and Symmetry, Wiley-Interscience, New York, p.2. ISBN 9780471543350, OCLC 163904

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