Sistema esférico de coordenadas

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O Sistema esférico de coordenadas é um sistema de referenciamento que permite a localização de um ponto qualquer em um espaço de formato esférico através de um conjunto de três valores, chamados de coordenadas esféricas.[1]

Superfícies elementares em coordenadas esféricas


Propriedades[editar | editar código-fonte]

As coordenadas esféricas (r,Θ,Φ) são definidas por (convenção não norte-americana):

As coordenadas são compostas pela tripla ordenada

Spherical-coordinates.png O sistema representa a coordenada através do raio esférico da membrana que virtualmente conteria o ponto no espaço e de dois ângulos, suficientes para identificar a posição do mesmo em relação aos eixos principais.[1]

O espaço pode ser visto como um conjunto de esferas concêntricas, onde o raio serve como delimitador máximo da superfície de cada esfera e os ângulos determinam a localização exata dos pontos sobre a superfície.

A regra de transformação de coordenadas esféricas em retangulares pode ser descrita desta forma:

Para encontrar as coordenadas esféricas a partir das suas correspondentes retangulares usamos as seguintes fórmulas:

Convenções utilizadas[editar | editar código-fonte]

Sistema de coordenadas esférico pela convenção norte-americana

Convenção norteamericana[editar | editar código-fonte]

Falando em termos de coordenadas cartesianas, a convenção usada pelos matemáticos dos Estados Unidos é:

  • (Raio): é a distância entre o ponto P e a origem.
  • φ (colatitude ou ângulo polar ) de 0º a 180º é o ângulo entre o eixo e a linha que une a origem e ponto P, e
  • θ (azimute ou longitude) de 0º a 360º é o ângulo entre o eixo positivo e a linha que une a origem com a projeção do ponto P no plano XY.

Convenção não norteamericana[editar | editar código-fonte]

A maioria dos físicos, engenheiros e matemáticos não norteamericanos intercalam os símbolos θ e φ, sendo:

  • θ a colatitude.
  • φ o azimute.

Esta é a convenção que se segue neste artigo (quando nos referirmos às coordenadas esféricas). No sistema internacional, os grau de variação das três coordenadas são:

A coordenada radial é sempre positiva.

Aplicação ao cálculo integral[editar | editar código-fonte]

No cálculo integral, podemos usar o sistema de coordenadas esféricas para fazer uma mudança de variáveis, alterando do sistema de coordenadas cartesianas para . Neste caso há que inserir no integral o Jacobiano (determinante da matriz Jacobiana) da transformação, que neste caso dá .

Então:

A ordem de integração pode ser alterada conforme for mais conveniente.

Caso se queira achar apenas o volume então o integral fica apenas:

Exemplo: Volume da esfera[editar | editar código-fonte]

Neste sistema de coordenadas torna-se fácil por exemplo calcular o volume de uma esfera de raio . Podemos constatar que o ângulo , e que . Já o raio é varrido no intervalo .

que coincide com a fórmula para o volume da esfera.

Referências

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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