Sistema massa-mola

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O sistema massa-mola é um modelo utilizado na Física para estudo das oscilações de partículas[1].

Sistema massa-mola simples[editar | editar código-fonte]

Figura 1 - Sistema massa-mola.

O sistema massa-mola simples é constituído por um corpo de massa m acoplado a uma mola com fator restaurador k (constante de deformação), enquanto a outra extremidade está ligada a um ponto fixo conforme mostrado na Figura 1. Se tal sistema encontra-se em equilíbrio, a posição da massa é denotada por O (x = 0) e toda vez que a massa é deslocada em relação a ponto, surge uma força restauradora F = - kx, que tenta trazê-la de volta à situação inicial. As posições -xM e xM representam, respectivamente, a mola comprimida e a mola estendida. Quando o bloco de massa m é deslocado em relação à posição inicial e solto em seguida, o sistema passa a oscilar em torno da posição de equilíbrio.

A segunda lei de Newton pode ser usada para analisar esse sistema:

.

A sua solução é da forma onde

é a frequência de oscilação natural do sistema.

Sistema massa-mola composto[editar | editar código-fonte]

Se acoplarmos a esse sistema massa-mola a outro conforme mostrado na Figura 2 e aplicarmos novamente as leis de Newton temos para as massas m1 e m2, respectivamente, e . As soluções para tais equações também serão oscilatórias só que agora encontraremos duas freqüências de oscilação para o sistema e não apenas uma como no caso anterior. As novas freqüências permitidas serão:

e
Figura 2: Duas massas acopladas uma a outra por uma mola e a posições fixas também por molas.

Se agora tivermos três massas acopladas, teremos três novas freqüências de oscilação diferentes.Analogamente, se tivermos N massas acopladas teremos N modos normais correspondentes. Mostrando que a interação entre as massas faz com que apareçam novas freqüencias, abrindo o espectro de frequências permitidas. A Figura 3 mostra o espectro de freqüências de um sistema de acordo com o número de massas.

Figura 3: Espectro de frequências de acordo con o número n de massas acopladas.

Consideremos agora o sistema massa-mola ilustrado na Figura 4 formado por infinitos conjuntos massa-mola desacoplados, cada par massa-mola individualmente nessa forma possui um dado modo normal de vibração (uma freqüência natural de oscilação), todos os pares possuem o mesmo modo normal e a Hamiltoniana que contempla esse sistema é dá forma:

Figura 4: Sistema infinito de pares massa-mola desacoplados.

com representação matricial:

Se acoplamos esses pares da forma mostrada na Figura 5 a nova hamiltoniana do sistema será:

Figura 5: Sistema infinito de pares massa-mola acoplados.

Sua representação matricial é da forma

Vemos, portanto que ao acoplar os osciladores o seu espectro de freqüências se abre permitindo novas freqüências diferentes individuais de cada par massa-mola. Um efeito semelhante ocorre quando juntamos vários átomos para formar uma cadeia linear. Ou seja, o sistema mostrado na Figura 4 é análogo a uma cadeia linear de átomos acoplados, apesar do fato de ser apenas um modelo clássico.

Referências

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • MARRION, J.B.; THORNTON, S.T. Classical Dynamics of Particles & Systems, 1995.
  • COHEN-TANNOUDJI, C.; DIU, B.; LALOË, F. Quantum Mechanics, 1ª edição. Wiley, Vol. 2, p.1442-1446, 1977.