Soma direta

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O conceito de soma direta é recorrente em álgebra, se aplicando a diversas estruturas algébricas, como grupos, anéis e espaços vetoriais. A soma direta é o que, em teoria das categorias, é conhecido por coproduto de estruturas algébricas.

Soma direta de espaços vetoriais[editar | editar código-fonte]

Sejam e dois espaços vetoriais sobre um campo . O espaço vetorial , resultante da soma direta entre e , é definido da forma seguinte:

Soma direta de grupos abelianos[editar | editar código-fonte]

Dada uma família de grupos abelianos, definimos a soma direta de , denotada por , como sendo o grupo cujos elementos são -uplas cujas entradas são todas nulas, a menos um de um subconjunto finito de índices em , e cuja soma entre é . Utilizamos aqui a notação aditiva de grupos.

Soma direta de dois grupos[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Grupo livre

A soma direta de dois grupos G e H é (pela definição de coproduto) o grupo mais genérico contendo subgrupos isomórficos a G e a H, e em que cada elemento é o produto (finito) de elementos destes subgrupos.

Identificando G e H com os subgrupos da soma direta, temos, por exemplo, que se x for um elemento de G e y um elemento de H, x2y10x-1yx-3 será um elemento da soma direta.

De modo geral, qualquer elemento da soma direta é uma expressão da forma:

em que os gs pertencem ao subgrupo isomórfico a G, os hs ao subgrupo isomórfico a H. Esta representação não é única, pois alguns g e h podem ser o elemento neutro da soma direta.