Subgrupo comutador

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Em matemática, mais especificamente em álgebra abstrata, o subgrupo comutador ou subgrupo derivado de um grupo é o subgrupo gerado por todos os comutadores do grupo. Em outras palavras, o comutador de um grupo é o menor subgrupo normal tal que o quociente é abeliano.

Definição[editar | editar código-fonte]

Um comutador é um elemento da forma g-1 h-1 g h, representado por [g, h].

O subgrupo comutador é o menor subgrupo que contém todos os comutadores.

Representa-se o comutador do grupo G por G' . Esta definição pode ser repetida um número finito (ou infinito - usando-se a recursão transfinita) de vezes, representando-se:

  • G(0) = G
  • G(n+1) é o comutador de G(n)
  • Gα, para um número ordinal limite α, é a interseção dos Gx para todos x < α

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Se um grupo G é abeliano, então G' = { e }
  • O subgrupo comutador é um subgrupo normal
  • O quociente G/G' é um grupo abeliano
  • Se N é um subgrupo normal de G, então G/N é abeliano se, e somente se, G' for um subgrupo de N
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