Subobjeto

Na teoria das categorias, um ramo da matemática, um sub-objeto é, grosso modo, um objeto que está dentro de outro objeto da mesma categoria. A noção é uma generalização dos conceitos de de subconjunto (da teoria de conjuntos) e subgrupo (da teoria de grupos). Uma vez que a real estrutura dos objetos é irrelevante na teoria de categorias, a definição de sub-objeto se baseia em um morfismo que descreve como um objeto se situa dentro de outro, em vez de fazer uso dos elementos.

Definição

Em detalhe, seja A um objeto de alguma categoria. Dados dois monomorfismos

u: S → A e

v: T → A

com contradomínio A, denote u ≤ v para indicar que u é fatorado através de v. A relação binária ≡ definida por

u ≡ v se, e somente se, u ≤ v e v ≤ u

é uma relação de equivalência sobre o conjunto dos monomorfismos com contradomínio A, e as classes de equivalência correspondentes destes monomorfismos são os sub-objetos de A. A coleção dos monomorfismos com contradomínio A sob a relação ≤ forma uma pré-ordem, mas a definição de um sub-objeto garante que a coleção dos sub-objetos de A estão em uma ordem parcial.

O conceito dual ao de sub-objeto é um objeto quociente; a definição de objeto quociente é obtida substituindo monomorfismo por epimorfismo na definição acima e também invertendo a direção das setas.

Exemplos

Na categoria dos conjuntos (denotada por Set), um sub-objeto de A corresponde a um subconjunto B de A, ou ainda à coleção de todas as funções de conjuntos equipotentes a B com imagem exatamente B. A ordem parcial de sub-objetos de um conjunto em Set é apenas o reticulado de subconjuntos. Resultados análogos valem na categoria dos grupos (Grupos), e algumas outras categorias.

Dada uma classe P parcialmente ordenada, pode-se formar uma categoria com os elementos de P como objetos e uma única seta indo de um objeto (elemento) para outro se o primeiro é menor ou igual ao segundo. Se P tem um elemento máximo, a ordem parcial de sub-objetos deste maior elemento será o próprio P. Isto é em parte devido a todas as setas em tal categoria serem monomorfismos.

Ver também

• Subgrupo
• Subconjunto

Referências

• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, ISBN 0-387-98403-8, Graduate Texts in Mathematics, 5, Springer-Verlag 
• Sorin Dăscălescu, Constantin Năstăsescu, Șerban Raianu. Hopf Algebras: An introduction. CRC Press, 2001. 420p. p. 363. ISBN 0-8247-0481-9