Superfície de Riemann

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Esfera de Riemann.
Superfície de Riemann para a função raiz quadrada.

Uma superfície de Riemann é uma variedade analítica de dimensão complexa um. Como toda variedade analítica, uma superfície de Riemann é orientável.

É possível mostrar que o recobrimento universal M_0 de uma superfície de Riemann M é o disco \{z \in \mathbb{C} | |z| < 1 \}, a esfera de Riemann S, ou o plano complexo \mathbb{C}.

Um método clássico para classificar e construir superfícies de Riemann consiste em quocientar a esfera, o disco ou o plano por um grupo  \mathcal{G} de automorfismos holomorfos e livres de pontos fixos. A partir da esfera, do disco ou do plano, é possível construir qualquer superfície de Riemann, considerando a seguinte seguinte relação de equivalência sobre M_0: x é equivalente a y se e somente se existe algum g \in \mathcal{G} tal que g(x)=y.

Exemplo 1[editar | editar código-fonte]

Seja M_0 = \mathbb{C} e  \mathcal{G} o grupo das translações em \mathbb{C} do tipo f_{k_1,k_2}(z)=z + k_1 + k_2i, onde k_1 e k_2 são inteiros.

Então \mathbb{C} / \mathcal{G} é holomorfo a um toro T^2.

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