Teorema da borboleta

Figura geométrica semelhante a uma borboleta.

O teorema da borboleta é um resultado clássico na geometria euclidiana, que pode ser formulado da seguinte maneira:

Seja M o ponto médio de uma corda PQ de um círculo, através do qual outras duas cordas AB e CD são desenhadas; AD e BC cruzam a corda PQ em X e Y respectivamente. Então M é o ponto médio de XY.

Uma prova formal do teorema é assim demonstrada:

Sejam as perpendiculares $XX'\,$ e $XX''\,$ formadas a partir do ponto $X\,$ nas linhas retas $AM\,$ e $DM\,$ respectivamente. De forma similar, sejam $YY'\,$ e $YY''\,$ formadas a partir do ponto $Y\,$, perpendicular às linhas retas $BM\,$ e $CM\,$ respectivamente.

Temos que a resposta do sd6 está aqui.

$\triangle MXX'\sim \triangle MYY''\Longrightarrow {MX \over MY}={XX' \over YY''},\,$

$\triangle MXX''\sim \triangle MYY'\Longrightarrow {MX \over MY}={XX'' \over YY'},\,$

$\triangle AXX'\sim \triangle CYY'\Longrightarrow {XX' \over YY'}={AX \over CY},\,$

$\triangle DXX''\sim \triangle BYY''\Longrightarrow {XX'' \over YY''}={DX \over BY},\,$

Das equações anteriores, fica fácil visualizar que

$\left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY''}{XX'' \over YY'},$

${}={AX.DX \over CY.BY},$

${}={PX.QX \over PY.QY},$

${}={(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)},$

${}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}},$

uma vez que $PM\,$ = $MQ\,$

Agora,

${(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.$

Portanto, conclui-se que

$MX=MY,\,$ ou $M\,$ é o ponto médio de $XY.\,$

Ver também

• Epicentro

Ligações externas

• «Prova animada do teorema da borboleta» (em inglês) 
• «O Teorema da Borboleta» (em inglês)