Teorema da convergência dominada

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Em matemática, o teorema da convergência dominada também conhecido como teorema da convergência dominada de Lebesgue é um dos principais teoremas envolvendo a integral de Lebesgue. Tem grandes aplicações na construção de espaços funcionais como o espaço Lp.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja uma sucessão de funções integráveis à Lebesgue convergindo quase-sempre em para uma função dominadas por uma função integrável, então:

.

por dominado, entende-se:

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Defina , temos que:

  • quase sempre
  • e, em especial:

Pelo lema de Fatou temos:

O que implica:

Como

Temos que

E como o resultado segue.