Teorema da divergência

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No cálculo vetorial, o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss, Teorema de Ostrogradski ou Teorema de Ostrogradski - Gauss)[1] é um resultado que relaciona fluxo com o campo vetorial através de uma superfície com o comportamento do campo vetorial dentro da superfície.

Mais precisamente, o teorema da divergência diz que o fluxo externo de um campo vetorial que passa através de uma superfície fechada é igual a integral do volume da divergência sobre a região dentro da superfície. Intuitivamente, ela considera que a soma de todas as fontes menos a soma de todos sumidouros dá o valor do fluxo líquido saindo da região.

O teorema da divergência é um resultado importante da matemática para engenharia, em particular para a eletroestática e dinâmica de fluídos.

Na física e na engenharia, o teorema da divergência é usualmente aplicada nas três dimensões. Entretanto, é generalizado para qualquer número de dimensão. Em uma dimensão, é equivalente ao teorema fundamental do cálculo. Em duas dimensões, é equivalente ao Teorema de Green.

Este teorema é um caso especial do mais geral Teorema de Stokes.

Intuição[editar | editar código-fonte]

Se um fluído está passando por alguma área, então a taxa na qual este fluído saí de uma certa região dentro desta área, pode ser calculada simplesmente adicionando as fontes dentro da região e subtraindo os sumidouros. A passagem do fluído é representada pelo campo vetorial, e a sua divergência em um dado ponto descreve a força da fonte ou do sumidouro. Então, integrando a divergência do campo sobre o interior da região deve ser igual a integral do campo vetorial sobre o limite da região. O teorema da divergência diz que isto é verdade.[2]

O teorema da divergência é empregado em qualquer lei da conservação que diz que o volume total de todos os sumidouros e todas as fontes, que é a integral de volume da divergência, é igual ao fluxo líquido que passa através dos limites desse volume.[3]

Afirmação Matemática[editar | editar código-fonte]

Supomos que {\textstyle V } é um subconjunto de {\textstyle R^n } (no caso de n = 3, V representa um volume 3D no espaço) que é um espaço compacto e é uma função definida por partes nas suas arestas formadoras S (também indicada com \partial V =S ). Se {\textstyle \mathbf{F} } é uma campo vetorial contínuo e diferenciável definido na vizinhança de V , então nós temos:

{\displaystyle \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \;\; dV = \int \!\!\!  \oint_S (\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}) d\mathbf{S} }

É o resultado de ligações entre divergência de um campo vetorial com o valor da integral de superfície do fluxo definido pelo campo. É fundamental no estudo matemático da Física, em particular eletrostática e dinâmica dos fluidos.

Dado um campo vetorial \mathbf{A} de classe C^1(D)\,, que contém uma superfície fechada \mathbf{S} delimitando um volume \mathbf{V} em \mathbf{D} aberto, orientada pela normal exterior, tem-se:

\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{A} \;\; dV = \int \!\!\! \oint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{s}

onde \iiint_V é uma integral tripla no volume \mathbf{V} e \int \!\!\! \oint_S é a integral sobre uma superfície fechada \mathbf{S}

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. "The History of Stokes' Theorem on JSTOR". www.jstor.org.
  2. Lerner, R. G.. Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). [S.l.: s.n.], 1994. ISBN 3-527-26954-1
  3. Byron, F.W. Mathematics of Classical and Quantum Physics. [S.l.: s.n.], 2012. ISBN 9780486135069
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