Teorema da divergência

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No cálculo vetorial, o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss, Teorema de Ostrogradski ou Teorema de Ostrogradski - Gauss)[1] é um resultado que relaciona fluxo com o campo vetorial através de uma superfície com o comportamento do campo vetorial dentro da superfície.

Mais precisamente, o teorema da divergência diz que o fluxo externo de um campo vetorial que passa através de uma superfície fechada é igual a integral do volume da divergência sobre a região dentro da superfície. Intuitivamente, ela considera que a soma de todas as fontes menos a soma de todos sumidouros dá o valor do fluxo líquido saindo da região.

O teorema da divergência é um resultado importante da matemática para engenharia, em particular para a eletroestática e dinâmica de fluídos.

Na física e na engenharia, o teorema da divergência é usualmente aplicada nas três dimensões. Entretanto, é generalizado para qualquer número de dimensão. Em uma dimensão, é equivalente ao teorema fundamental do cálculo. Em duas dimensões, é equivalente ao Teorema de Green.

Este teorema é um caso especial do mais geral Teorema de Stokes.

Intuição[editar | editar código-fonte]

Se um fluído está passando por alguma área, então a taxa na qual este fluído saí de uma certa região dentro desta área, pode ser calculada simplesmente adicionando as fontes dentro da região e subtraindo os sumidouros. A passagem do fluído é representada pelo campo vetorial, e a sua divergência em um dado ponto descreve a força da fonte ou do sumidouro. Então, integrando a divergência do campo sobre o interior da região deve ser igual a integral do campo vetorial sobre o limite da região. O teorema da divergência diz que isto é verdade.[2]

O teorema da divergência é empregado em qualquer lei da conservação que diz que o volume total de todos os sumidouros e todas as fontes, que é a integral de volume da divergência, é igual ao fluxo líquido que passa através dos limites desse volume.[3]

Afirmação Matemática[editar | editar código-fonte]

Supomos que {\textstyle V } é um subconjunto de {\textstyle R^n } (no caso de n = 3, V representa um volume 3D no espaço) que é um espaço compacto e é uma função definida por partes nas suas arestas formadoras S (também indicada com \partial V =S ). Se {\textstyle \mathbf{F} } é uma campo vetorial contínuo e diferenciável definido na vizinhança de V , então nós temos:

{\displaystyle \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \;\; dV = \int \!\!\!  \oint_S (\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}) d\mathbf{S} }

É o resultado de ligações entre divergência de um campo vetorial com o valor da integral de superfície do fluxo definido pelo campo. É fundamental no estudo matemático da Física, em particular eletrostática e dinâmica dos fluidos.

Dado um campo vetorial \mathbf{A} de classe C^1(D)\,, que contém uma superfície fechada \mathbf{S} delimitando um volume \mathbf{V} em \mathbf{D} aberto, orientada pela normal exterior, tem-se:

\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{A} \;\; dV = \int \!\!\! \oint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{s}

onde \iiint_V é uma integral tripla no volume \mathbf{V} e \int \!\!\! \oint_S é a integral sobre uma superfície fechada \mathbf{S}

Exemplo [4] [editar | editar código-fonte]

Suponha uma região na qual age um campo vetorial de velocidades \mathbf{V}=2x\mathbf{i}+2y\mathbf{j}+2z\mathbf{k} . Como calcular o fluxo através da superfície S: x^2+y^2+z^2=9  ?

A superfície em questão se trata de uma esfera de raio r=3, centrada na origem. Pelo teorema da divergência, o fluxo através da superfície s é igual ao divergente do campo de velocidades \mathbf{V} integrado ao longo do volume v ocupado pela superfície. Isto é:

\int\!\!\!\!\oint_s\mathbf{V}\cdot\mathbf{n}\; ds=\iiint_v\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{V}\;dv

Calculando o divergente do campo vetorial de velocidades, tem-se:

\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{V}=\frac{d(2x)}{dx}+\frac{d(2y)}{dy}+\frac{d(2z)}{dz}

\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{V}=2+2+2=6

Logo, o fluxo através de S vale:

\int\!\!\!\!\oint_s\mathbf{V}\cdot\mathbf{n}\; ds=6\iiint_vdv =6v sendo v o volume da esfera.

Como é sabido que o volume da esfera é dado por v=\frac{4\pi r^3}{3}

\int\!\!\!\!\oint_s\mathbf{V}\cdot\mathbf{n}\; ds=\frac{6.4.\pi.3^3}{3}=216\pi

Aplicações [5] [editar | editar código-fonte]

Forma integral e diferencial de leis físicas[editar | editar código-fonte]

A partir da aplicação do teorema da divergência, uma série de leis físicas que envolvem campos vetoriais pode ser apresentada de duas formas distintas. Uma delas é a sua forma integral e outra a forma diferencial. No primeiro caso, o fluxo de uma grandeza através de uma superfície fechada é igual à uma outra quantidade. Na forma diferencial, por outro lado, uma grandeza é igual ao divergente de outra. Bons exemplos dessa aplicação são as leis de Gauss para eletrostática, magnetismo e gravidade.

Equações de continuidade[editar | editar código-fonte]

Equações de continuidade são igualdades que descrevem matematicamente a conservação de grandezas como massa, momentum, carga elétrica, probabilidade e energia. O teorema da divergência estabelece que tais equações podem também ser escritas de duas formas, uma integral e outra diferencial. Genericamente, em campos como a dinâmica de fluídos, eletromagnetismo, mecânica quântica e relatividade geral, estas igualdades estabelecem que o divergente do fluxo de uma grandeza conservada é igual à distribuição de fontes e sumidouros de tal grandeza no campo vetorial em questão. Resumidamente, o teorema da divergência afirma que qualquer equação  de continuidade, tal como explanado, pode ser escrita de forma diferencial, em termos do divergente do campo, ou de forma integral, em termos do fluxo

Leis de quadrado inverso [editar | editar código-fonte]

Qualquer lei de quadrado inverso pode ser escrita de forma diferencial ou integral. A lei de Gauss para eletrostática, por exemplo, deriva diretamente da lei de Coulomb. Da mesma forma, a lei de Gauss para a gravidade deriva, de forma análoga, da Lei da Gravitação universal de Newton. Estas equivalências são possíveis graças ao teorema da divergência. 

Exemplo:[editar | editar código-fonte]

Um exemplo para a aplicabilidade do teorema da divergência para representação de leis físicas de forma integral ou diferencial é a transformação da Lei de Gauss para eletrostática da forma integral para a forma diferencial.

Tomando-se a lei de Gauss sob a forma integral:

\iint_s\mathbf{E}\cdot\mathbf{n}\;ds=\frac{q}{\epsilon_0} onde q é a carga elétrica e \epsilon_0 é a constante de permissividade elétrica do vácuo e s é a superfície fechada que envolve a carga.

A carga elétrica q pode ser escrita como:

q=\iiint_v\rho\;dv onde \rho é a densidade de carga elétrica e v é o volume ocupado pela superfície s.

Logo:

\iiint_v\frac{\rho}{\epsilon_0}dv=\iint\mathbf{E}\cdot\mathbf{n}\;ds

Pelo teorema da divergência:

\iint_s\mathbf{E}\cdot\mathbf{n}\;ds= \iiint_v\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{E}\;dv

Como o volume v é qualquer

\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0} , que é a forma diferencial da lei de Gauss para a eletrostática.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. "The History of Stokes' Theorem on JSTOR". www.jstor.org.
  2. Lerner, R. G.; Trigg, G. L. (1994). Encyclopaedia of Physics (2nd ed.) [S.l.: s.n.] ISBN 3-527-26954-1. 
  3. Byron, F.W (2012). Mathematics of Classical and Quantum Physics [S.l.: s.n.] ISBN 9780486135069.  Parâmetro desconhecido |artigoautor2= ignorado (Ajuda); |nome2= sem |sobrenome2= em Authors list (Ajuda)
  4. STRAUCH, Irene. Análise Vetorial em dez aulas. UFRGS, 2008
  5. C.B.Parker(1994) McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd ed.)
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