Teorema da projeção de fatia

Em matemática, o teorema da projeção de fatia, teorema da fatia de Fourier ou ainda teorema da fatia central em duas dimensões estabelece que os resultados dos seguintes dois cálculos são iguais:

• Tomando-se uma função bidimensional f(x,y), circularmente simétrica, projetada sobre uma linha (monodimensional), e realizando uma transformada de Fourier desta projeção.
• Tomando-se a mesma função, mas realizando uma transformada de Fourier bidimensional primeiro, e então fatiando-a através de sua origem, a qual é paralela à linha de projeção.

Em termos de operador, se

• F₁ e F₂ são operadores da transformada de Fourier mono- e bidimensionais mencionados acima,
• P₁ é o operador de projeção (o qual projeta uma função 2-D em uma linha 1-D) e
• S₁ é o operador "fatiador" (o qual extrai uma fatia 1-D de uma função 2-D), então:

$F_{1}P_{1}=S_{1}F_{2}\,$

Como f(x,y) é circularmente simétrica, pode-se também escrever f(r), onde r é o raio vetor de um ponto qualquer (x,y).

Esta ideia pode ser estendida para dimensões mais altas.

O ciclo de transformadas Abel-Fourier-Hankel

Demonstra-se que a transformada de Abel A(u), a transformada de Fourier (unidimensional) F(u) e a transformada de Hankel de ordem 0 K₀(u) possuem a seguinte propriedade:

${\mathcal {K}}_{0}\left\{{\mathcal {F}}\left\{{\mathcal {A}}\left\{f(r)\right\}\right\}\right\}\;=\;f(r)$

onde f(r) é uma função bidimensional circularmente simétrica. Em notação de operadores, K F A = I, onde I é o operador identidade. Essas expressões são equivalentes ao teorema de projeção de fatia em duas dimensões.

Para funções que não apresentam simetria circular, vale a relação mais genérica F₂^-1 F₁ R = I, onde F₂^-1 é a transformada inversa bidimensional de Fourier e R é a transformada de Radon (bidimensional). Se escrevermos essa expressão como F₁ R = F₂ e compararmos com F₁ P₁ = S₁ F₂, concluímos que o operador R equivale a uma combinação de P₁ e S₁; ele projeta uma fatia de uma função bidimensional sobre uma linha reta.

A extensão do teorema para uma dimensão n pode ser escrita, a partir desses resultados, como F₁ R_n = F_n.

Referências

• Bracewell, R.N. (1990). «Numerical Transforms». Science. 248 (4956): 697–704. PMID 17812072. doi:10.1126/science.248.4956.697 
• Bracewell, R.N. (1956). Aust. J. Phys. 9. 198 páginas 
• Gaskill, Jack D. (1978). Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics. [S.l.]: John Wiley & Sons, New York. ISBN 0-471-29288-5 
• Ng, R. (2005). «Fourier Slice Photography». ACM TOG 
• Bracewell, R. N. (2000). The Fourier Transform and Its Applications. [S.l.]: McGraw-Hill, New York. ISBN 978-0-1381-4757-0