Teorema de Arzelà-Ascoli

Em matemática, o teorema de Arzelà-Ascoli é um importante resultado, com aplicações na análise real, análise funcional e em áreas afins tais como a teoria das equações diferenciais. Provém dos matemáticos italianos Cesare Arzelà e Giulio Ascoli.

Enunciado da versão real

Seja ${\mathfrak {F}}\,$ uma sequência de funções $f:[a,b]\to \mathbf {R} \,$ com as seguintes propriedades:

• Equicontinuidade, ou seja, para cada $\varepsilon >0\,$ e cada $x\,$ em $[a,b]$, existe um $\delta >0\,$ tal que $|x-y|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon ,\forall f\in {\mathfrak {F}}\,$.
• Limitação pontual, ou seja, para cada $x$ em $[a,b]$ existe uma constante $C\,$ tal que $|f(x)|<C,\;\forall f\in {\mathfrak {F}}\,$.

Então existe uma subseqüência $f_{n}(x)\,$ e uma função contínua $f(x)\,$ tal que $f_{n}(x)\,$ converge uniformemente para $f(x)\,$.

De uma forma mais simples, o teorema pode ser enunciado da seguinte forma:

Considere uma sequência de funções contínuas $(f_{n}(x))\,$ definidas em um intervalo fechado $[a,b]$ dos reais. Se essa sequência é pontualmente limitada e equicontínua, então existe uma subsequência que converge uniformemente.

Isso significa, por exemplo, que o teorema funciona para funções deriváveis tais que ela e sua derivada são uniformemente limitadas. Se a derivada segunda também é uniformemente limitada, as derivadas também convergem uniformemente.

Demonstração

Para qualquer $x\in [a,b]$ temos, por hipótese, que $|f_{n}(x)|<C$, para todo $n$. Portanto $f_{n}(x)$ é uma sequência em $\mathbb {R}$ limitada. Mas tais sequências sempre possuem uma subsequência convergente (isso segue do Teorema de Bolzano-Weierstrass). Portanto existe alguma subsequência $f_{m}$ de $f_{n}$ tal que $f_{m}(x)$ converge.

Existe um subconjunto $S\subset [a,b]$ que é enumerável e denso (por exemplo, o conjunto dos racionais contidos em $[a,b]$). Seja $s_{i}$ uma enumeração de $S$. Para $s_{1}$ existe subsequência $f_{n}^{1}$ de $f_{n}$ tal que $f_{n}^{1}(s_{1})$ converge. Mas $f_{n}^{1}$ também satisfaz $|f_{n}^{1}(x)|<C$, para qualquer $x\in [a,b]$. Portanto para $s_{2}$ existe subsequência $f_{n}^{2}$ de $f_{n}^{1}$ tal que $f_{n}^{2}(s_{2})$ converge. Podemos repetir o procedimento para $s_{3},\;s_{4},\;s_{5},\ldots ,s_{i},\ldots$ para criar uma sequência de subsequências:

$\{f_{n}^{1}\}\subseteq \{f_{n}^{2}\}\subseteq \cdots \subseteq \{f_{n}^{i}\}\subseteq \cdots$

Agora considere a sequência de funções $f_{k}^{k}$, ou seja, a sequência formada pela $k$-ésima função da $k$-ésima sequência de funções. Para todo $s_{i}$, a sequência $f_{k}^{k}(s_{i})$ converge. Isso segue do fato que, para $k>i$, $f_{k}^{k}$ é subsequência de $f_{n}^{i}$. Como $f_{n}^{i}(s_{i})$ converge, $f_{k}^{k}(s_{i})$ deve também convergir. Portanto $f_{k}^{k}$ converge pontualmente em $S$.

Para simplificar notação, defina $g_{k}:=f_{k}^{k}$.

Queremos mostrar que $g_{k}$ converge uniformemente, ou seja, que para todo $\varepsilon >0$ existe algum $N\in \mathbb {N}$ tal que para todo $x$ em $[a,b]$,

$|g_{j}(x)-g_{i}(x)|<\varepsilon$,

sempre que $i,j>N$ (estamos usando o fato que em $\mathbb {R}$ sequências convergentes são equivalentes a sequências de Cauchy). Note que

$|g_{j}(x)-g_{i}(x)|\leq |g_{j}(x)-g_{j}(y)|+|g_{j}(y)-g_{i}(y)|+|g_{i}(y)-g_{i}(x)|$,

para qualquer $y\in [a,b]$. O primeiro e terceiro termo do lado direito da desigualdade acima pode ser tomado arbitrariamente pequeno em decorrência da equicontinuidade de $g_{k}$: para todo $\eta >0$ existe $\delta >0$ tal que

$|y-x|<\delta \;\;\Rightarrow \;\;|g_{i}(y)-g_{i}(x)|<\eta ,\;|g_{j}(y)-g_{j}(x)|<\eta$.

Como S é denso em $[a,b]$ temos que para qualquer $\delta >0$ os conjuntos $U_{s}:=\{x:|s-x|<\delta \}$, para $s\in S$, cobrem $[a,b]$, isto é, $[a,b]\subseteq \bigcup _{s\in S}U_{s}$. Mas $[a,b]$ é compacto (pelo Teorema de Heine-Borel), portanto existem $s_{1},\ldots ,s_{m}$ tais que $[a,b]\subseteq U_{1}\cup \cdots \cup U_{m}$. Portanto para todo $x$ em $[a,b]$ existe algum $s_{l}$, $l\in \{1,\ldots ,m\}$, tal que

$|s_{l}-x|<\delta$,

portanto tal que

$|g_{i}(s_{l})-g_{i}(x)|<\eta ,\;|g_{j}(s_{l})-g_{j}(x)|<\eta$.

Segue que para todo $x$ em $[a,b]$ algum $s_{l}$ satisfaz

$|g_{j}(x)-g_{i}(x)|\leq |g_{j}(s_{l})-g_{i}(s_{l})|+2\eta$.

O conjunto $\{s_{1},\ldots ,s_{m}\}\subset S$ depende da escolha de $\eta$, mas o que importa é que ele é sempre finito.

Como $g_{k}(s_{l})$ converge, para todo $l\in \{1,\ldots ,m\}$, temos que para todo $\lambda >0$ existe $N_{l}\in \mathbb {N}$ tal que $i,j>N_{l}$ implica

$|g_{j}(s_{l})-g_{i}(s_{l})|<\lambda$.

Mas como temos finitos $N_{l}$ existe algum $N\in \mathbb {N}$ que é maior que todos os $N_{l}$. Portanto se $i,j>N$ temos

$|g_{j}(x)-g_{i}(x)|\leq 2\eta +\lambda$,

para todo $x$ em $[a,b]$. Para concluir a demonstração, note que $\eta ,\lambda$ foram escolhidos de forma arbitrária e independente, portanto para qualquer $\varepsilon >0$ eles poderiam ter sido escolhidos tais que $2\eta +\lambda <\varepsilon$.

Generalizações

Um resultado análogo é válido quando o domínio e codomínio das funções $f_{n}$ são espaços métricos (o que é suficiente para que os conceitos de equicontinuidade e limitação pontual sejam bem-definidos), o domínio é compacto e o codomínio é completo. Para que o argumento apresentado acima seja válido nesse contexto mais geral, basta demonstrar que o domínio ser métrico e compacto implica que ele possui subconjunto enumerável e denso.

Seja $X$ um espaço métrico compacto. Para algum $\delta >0$ definimos os conjuntos $B(x;\delta ):=\{y\in X:|y-x|<\delta \}$. Então a união $\bigcup _{x\in X}B(x;\delta )$ cobre $X$. Mas $X$ é compacto, portanto deve haver uma subcobertura finita, ou seja, finitos pontos $s_{1},\ldots ,s_{n}$ tais que $B(s_{1};\delta )\cup \cdots \cup B(s_{n};\delta )$ cobre $X$.

Considere agora a sequência $\delta _{i}$ tal que $\delta _{i}>0,\;\delta _{i}\rightarrow 0$. Para cada $i$ existe um conjunto $S_{i}:=\{s_{1}^{i},\ldots ,s_{m_{i}}^{i}\}$ tal que $B(s_{1}^{i};\delta )\cup \cdots \cup B(s_{m_{i}}^{i};\delta )$. Cada ponto de $X$ está a uma distância menor que $\delta _{i}$ de algum elemento de $S_{i}$, portanto $\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}$ é denso em $X$. Mas cada $S_{i}$ é finito, portanto $\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}$ é enumerável.

Referências

• Lima, Elon Lages (2017), Espaços Métricos, ISBN 978-85-244-0158-9 5ª ed. ed. , Rio de Janeiro: IMPA  !CS1 manut: Texto extra (link)
• Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis, ISBN 0-07-054235-X, New York: McGraw-Hill