Teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

O teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas é um resultado da teoria analítica dos números demonstrado pelo matemático Johann Dirichlet.

Este teorema sobre a distribuição dos números primos em , foi conjecturado por Gauss e finalmente demonstrado em 1837 por Dirichlet, nome pelo qual é atualmente conhecido.

O primeiro teorema de convergência de séries de Fourier, devido a Dirichlet, apareceu em 1829 e se refere à funções monótonas em trechos. Por ele começamos primeiro com uns comentários sobre estas funções. Uma função monótona e cotada em um intervalo [a, b] é integrável e tem limites laterais finitos em cada ponto. Se estes limites não coincidem a função terá uma descontinuidade com um salto finito. A soma dos saltos não pode ser maior que a diferença dos valores da função nos extremos do intervalo, de modo que o conjunto de descontinuidades com salto maior que 1/n é finito e, portanto, o conjunto de descontinuidades é no máximo numerável. As mesmas propriedades serão certas para uma função monótona em trechos, ou seja, aquela que é monótona em uma quantidade finita de intervalos que unidos dão o intervalo original.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja então a progressão aritmética contém infinitos números primos. (conforme Dirichlet)

Demonstração[editar | editar código-fonte]

A demonstração do teorema utiliza as propriedades de certas funções multiplicativas (conhecidas como funções L de Dirichlet) e vários resultados sobre aritmética de números complexos e é suficientemente complexa para que alguns textos clássicos de teoria dos números decidam excluí-la de seu repertório de demonstrações. Para evitar fazer uma leitura demasiado densa, neste artigo se excluiu da demostração alguns corolários intermediários que aparecem marcados como [AD]. A demostração completa, junto com os corolários excluídos aqui, podem ser encontrados no artigo de González de la Hoz.[1]

Seja um grupo comutativo finito de ordem e elemento unitário .

Um caráter sobre é uma função Um caráter sobre tem uma série de propriedades importantes para nossa demonstração:

  1. Dado que tanto a inversa de um caráter sobre como o produto dos caráteres sobre é também um caráter sobre , o conjunto de caráteres sobre forma um grupo comutativo com a multiplicação.
    Isto permite definir o caráter principal do grupo que se define como a função . O caráter principal é portanto o elemento unidade do grupo definido pelo conjunto de caráteres sobre .
  2. Como e dado que a ordem de um elemento divide a ordem do grupo, então , o que implica que .
    Dado que o número de raizes do elemento unitário de ordem é como máximo , o número de carateres é finito, sendo o valor uma cota superior de .
    Por outra parte existe um caráter ([AD]). Por ele, e se representa mediante a soma do valor associado a cada um dos diferentes caráteres do grupo , se tem estas propriedades adicionais ([AD]):
  3. Dado um , se definem os carateres do grupo definido como as classes de congruência módulo de números coprimos com .
    O grupo tem elementos, e o podemos representar por onde os diferentes são os representantes da classe de congruência que obedecem a condição , e neste contexto se definem as funções estendidas dos caracteres de da seguinte maneira:
    Estas funções se denominam caracteres de Dirichlet módulo q e são completamente multiplicativas. Existem funções deste tipo e uma delas: se denomina caráter principal de Dirichlet.
    Estes carateres tem algumas propriedades significativas (derivadas das propriedades dos carateres de um grupo que vimos antes):

Neste ponto se deve introduzir o seguinte definição:

Uma função-L de Dirichlet é uma função da forma

onde e é um caráter de Dirichlet.

Os valores de são periódicos, o que implica que a série converge absolutamente para e uniformemente para Além disso, como os coeficientes são completamente multiplicativos, a série admite a seguinte expressão: Quando A função-L de Dirichlet tem as seguintes propriedades ([AD]):

Da igualdade e as propriedades da função se deduz que a função é analítica no semiplano complexo a exceção de um polo em , cujo resíduo é . Como consequência disto, podemos afirmar que , onde é analítica e não tem singularidades em , de modo que a função expressa por tem também um polo em com resíduo . Por outra parte, toda função-L de Dirichlet com é analítica e não apresenta singularidades na zona ([AD]). E para se tem ([AD]) que o qual também se pode expressar como:

Esta expressão é chave para a demonstração do teorema de Dirichlet, pois podemos concluir que o teorema é correto se o primeiro termo do segundo membro diverge quando os restantes termos permanecem dentro de uns limites. Como se obedece que quando a seguinte expressão:

obtem um valor finito e, como vimos, dado que tem um polo em com resíduo resulta que o que implica que:

o que prova o teorema.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Gonzalez de la Hoz, F.A., Demostración del teorema de Dirichlet, web de la UNED. (em espanhol)