Teorema de Frisch-Waugh-Lovell

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Em Econometria, o teorema Frisch–Waugh–Lovell (FWL) recebeu este nome em homenagem aos econometristas Ragnar Frisch, Frederick V. Waugh e Michael C. Lovell.[1] Ele dá uma alternativa para estimação de coeficientes econométricos.

Para entender este teorema, tome um modelo econométrico de mínimos quadrados ordinários (OLS, na conhecida sigla em inglês) do vetor y em relação a dois conjuntos de variáveis, X e Z. O número de observações de cada uma das variáveis é "n":

 Y = {\color{Blue}X} \alpha + {\color{Red}Z} \beta + u \! ,

ou, expandindo as matrizes,

\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}=  \begin{matrix} \underbrace{ {\color{Blue}\begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1k} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2k} \\ \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & n_{1k} \end{bmatrix}} } \\ \mbox{matriz n x k} \end{matrix}  \cdot \begin{matrix} \underbrace{ \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_k \end{bmatrix} } \\ \mbox{matriz k x 1} \end{matrix} +  \begin{matrix} \underbrace{ {\color{Red}\begin{bmatrix} z_{11} & z_{12} & \cdots & z_{1m} \\ z_{21} & z_{22} & \cdots & z_{2m} \\ \vdots \\ z_{n1} & z_{n2} & \cdots & n_{1m} \end{bmatrix}} } \\ \mbox{matriz n x m} \end{matrix}  \cdot \begin{matrix} \underbrace{ \begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_m \end{bmatrix} } \\ \mbox{matriz m x 1} \end{matrix} + \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}

O que o teorema afirma é que a estimação de sub-vetor \beta será a mesma daquela obtida pela regressão modificada dada por:

 {\color{PineGreen}M_X} Y = {\color{PineGreen}M_X} {\color{Red}Z} \beta + {\color{PineGreen}M_X} u \!, ,

onde {\color{PineGreen}M_X} = I - {\color{Blue}X}(X'{\color{Blue}X})^{-1}X'. \!

Este resultado implica que todas as regressões secundárias são desnecessárias: usando matrizes de projeção (como {\color{PineGreen}M_X}) para tornar todas as variáveis ortogonais entre si resultará nos mesmos resultados que rodar a regressão com todos os não-ortogonais incluídos.

Referências

  1. Michael C. Lovell, A Simple Proof of the FWL (Frisch-Waugh-Lovell) Theorem, 28 de dezembro de 2005 [em linha]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]