Teorema de Frobenius

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Em matemática, mais especificamente na álgebra abstrata, o teorema de Frobenius, provado por Ferdinand Georg Frobenius, em 1877, caracteriza a álgebra de divisão associativa[nota 1] de dimensão finita[nota 2] sobre os números reais[1]. De acordo com o teorema, cada tal álgebra é isomórfica ao um dos seguintes:

  1. (números reais)
  2. (números complexos)
  3. ( Quatérnios)

Estas álgebras têm dimensões 1, 2 e 4, respectivamente. Dessas três álgebras, os números reais e complexos são comutativos, mas os quatérnios não são. Esse teorema está intimamente relacionado com o teorema de Hurwitz[nota 3] [2], que afirma que as únicas álgebras de divisão normalizadas ao longo os números reais são , , , e a (não-associativa) álgebra de octônios ( ).[3] [4]

Referências

  1. SCALAR ALGEBRAS AND QUATERNIONS: AN APPROACH BASED ON THE ALGEBRA AND TOPOLOGY OF FINITE-DIMENSIONAL REAL LINEAR SPACES, PART 1 por RAY E. ARTZ - 2009 [[1]]
  2. THE HURWITZ THEOREM ON SUMS OF SQUARES por KEITH CONRAD [[2]]
  3. Teorema de Frobenius por Ovídio Filho [[3]]
  4. Teorema de Frobenius por Luis Guijarro 2009 [[4]]

Notas

  1. Uma álgebra associativa A é um anel associativo que tem uma estrutura compatível de um espaço vectorial sobre um determinado campo K ou, mais geralmente, de um módulo ao longo de um anel comutativo R.
  2. A dimensão de um espaço vectorial V é a cardinalidade (isto é, o número de vectores) de uma base de V.
  3. O Teorema de Hurwitz, também chamado de "Teorema de 1,2,4 ou 8", em homenagem a Adolf Hurwitz provado por ele em 1898.
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