Teorema de Hahn-Banach

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Em matemática, o teorema de Hahn-Banach é um resultado fundamental da análise funcional. Este teorema permite que funcionais lineares definidos em um subespaço de um espaço vetorial sejam estendidos a todo o espaço.

O nome do teorema é em honra aos matemáticos Hans Hahn (austríaco) e Stefan Banach (polonês).

Ao contrário do teorema de Banach-Steinhaus e de Banach-Schauder, o teorema de Hahn-Banach não requer que o espaço seja completo.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja um espaço vetorial sobre um corpo , sendo ou . Dizemos que é sublinear se:

Então, se é uma aplicação linear, onde é um subespaço linear de e , então existe linear tal que:

Esboço da demonstração[editar | editar código-fonte]

Defina o conjunto das extensões f de , com parcialmente ordenado por:

Para aplicar o lema de Zorn, mostraremos que todo subconjunto totalmente ordenado tem uma quota superior. Para tal seja para desta forma. Defina:

é um espaço vetorial, pois é a união de um conjunto de espaços vetoriais totalmente ordenados por .
fica bem definida e linear e é uma cota maximal de .

Do lema de Zorn, defina um elemento maximal de . Vamos provar por absurdo que o domínio de é todo espaço. Para tal suponha que não seja. Então existe

Pode-se prolongar em como:

Agora, basta escolher de forma que esta extensão seja dominada por e a contradição conclui o teorema.

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