Teorema de Lagrange (teoria dos grupos)

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O Teorema de Lagrange, aplicado na teoria dos grupos, é um teorema que diz que se é um grupo finito e é subgrupo de então a ordem (quantidade de elementos) de divide a ordem de . Provemos um resultado antes de partir para a demonstração do Teorema de Lagrange.

Teorema 0.1

Se é uma relação de equivalência em então , onde tal união é sobre um elemento de cada classe e onde implica . Ou seja, particiona em classes de equivalência.

Demonstração

Seja . Note que . Portanto, é claro que .

Suponhamos que e provemos que .

Seja .

Então e .

Por um lado

Por outro .

Seja .

Então .

Mas , logo e assim .

Portanto . Seja .

Então . Mas , logo e assim .

Portanto .

E, dessa forma, .

Demonstração do Teorema de Lagrange[editar | editar código-fonte]

Seja a relação de equivalência definida por se .

Temos que .

Seja o número de classes de distintas de - chamemo-as de .

Pelo Teorema 0.1, e sabemos que , se .

Provemos que qualquer possui elementos.

Seja uma função tal que .

Provemos que é bijetora.

Note que é injetora pois implica e é sobrejetora pela definição de .

Potanto, é bijetora e, assim, .

Como e tais são disjuntos com elementos, teremos que .

Portanto, divide .

Ver também[editar | editar código-fonte]

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