Teorema de Laplace

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Em álgebra linear, o teorema de Laplace fornece uma expressão para o determinante de uma matriz quadrada qualquer em termos de determinantes de matrizes de ordem inferior.[1]

Enunciado do teorema[editar | editar código-fonte]

O determinante de uma matriz é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) pelos respectivos cofatores (ou complementos algébricos).

O cofator do elemento de uma matriz é o escalar definido por [2]

em que representa a matriz que se obtém da matriz original pela eliminação da i-ésima linha e da j-ésima coluna. Tem-se então que
ou
conforme seja escolhida a i-ésima linha ou a j-ésima coluna.

Aplicação[editar | editar código-fonte]

O teorema de Laplace é normalmente utilizado para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem superior ou igual a 4. Ele também se poder aplicar a matrizes de ordem inferior, embora neste caso o cálculo do determinante seja usualmente mais simples, como o uso da regra de Sarrus para matrizes de ordem 3, por exemplo. Na prática, o que se faz é passar do cálculo do determinante de uma matriz de ordem para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem . O teorema pode ser aplicado sucessivamente até se obterem matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é mais simples de calcular.

Pode-se selecionar indiferentemente qualquer linha ou coluna da matriz para aplicar o teorema. No entanto, para simplificar os cálculos, é usual escolher a linha (ou coluna) que apresente mais zeros, visto que o método consiste em multiplicar cada elemento da linha (ou coluna) pelo seu cofator. Assim, no caso de o elemento ser 0, o produto é nulo, não havendo a necessidade de se calcular o cofator.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere-se a matriz

O determinante desta matriz pode ser calculado aplicando o teorema de Laplace à 1ª linha:
O mesmo resultado pode ser obtido aplicando o teorema à 2ª coluna:

Demonstração do Teorema[editar | editar código-fonte]

Vamos usar o princípio da indução finita [3], provando, inicialmente, que o teorema é válido para matrizes de ordem . Considerando

e efetuando o desenvolvimento pela 1ª linha:

De forma análoga, os desenvolvimentos pela 2ª linha, 1ª coluna e 2ª coluna resultam em , de modo que a propriedade é válida para .

Na sequência, admitamos que a propriedade seja válida para determinantes de ordem e provemos que ela também é válida para determinantes de ordem . Seja uma matriz de ordem . Os primeiros menores (menores complementares) de são determinantes de ordem , os quais vamos denotar por , sendo a linha e a coluna eliminadas da matriz . Vamos usar o símbolo para representar o menor que se obtém pela supressão das linhas e e das colunas e da matriz . Assim, é um determinante de ordem .

Fixamos a coluna da matriz e determinamos

Desenvolvendo os determinantes pela 1ª coluna, temos:

Na expressão de , acima, tomamos as parcelas que contém :

as parcelas que contém :

as parcelas que contém :

simplificadas com o uso da hipótese de indução. Prosseguimos da mesma forma até obtermos as parcelas que contêm , de modo que:

Isso prova que , isto é, o resultado vale para qualquer coluna , . Com raciocínio análogo podemos provar que a propriedade é válida para qualquer linha e com raciocínios semelhantes podemos provar que ela é válida para a 1ª linha e para a 1ª coluna, concluindo que o teorema é válido para matrizes de ordem .

Complexidade assintótica[editar | editar código-fonte]

O teorema de Laplace não é computacionalmente eficiente para calcular determinantes. Sua complexidade no tempo é de , não sendo indicado para situações práticas.[4][5]

Utilizando a triangularização de matrizes, é possível escrever um algoritmo capaz de calcular determinantes em tempo ,[6] que é mais eficiente. O algoritmo é similar ao método de Eliminação de Gauss.

Referências

  1. Gabriel Alessandro de Oliveira. «Teorema de Laplace». R7. Brasil Escola. Consultado em 1 de junho de 2013 
  2. «Adjunta de uma matriz e suas propriedades». 17 de novembro de 2006. Consultado em 11 de março de 2020 
  3. IEZZI, Gelson (1977). Fundamentos de matemática elementar, 4: sequências, progressões, determinantes e sistemas lineares. São Paulo: Atual. ISBN 9788535717488 
  4. Felipe, Henrique (19 de agosto de 2017). «Complexidade Algorítmica do Teorema de Laplace no Cálculo de Determinantes». Blog Cyberini. Consultado em 9 de abril de 2018 
  5. Felipe, Henrique (18 de novembro de 2013). «Teorema de Laplace em Java». Blog Cyberini. Consultado em 9 de abril de 2018 
  6. Felipe, Henrique (8 de outubro de 2017). «Cálculo de Determinantes via Triangularização». Blog Cyberini. Consultado em 10 de abril de 2018 

Bibliografia[editar | editar código-fonte]