Teorema de Laplace

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Em álgebra linear, o teorema de Laplace é uma expressão para o determinante duma matriz quadrada qualquer.[1]

Enunciado do teorema[editar | editar código-fonte]

O determinante de uma matriz é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) pelos respectivos cofatores (ou complementos algébricos).

O cofator do elemento duma matriz é o escalar definido por

em que representa a matriz que se obtém da matriz original pela eliminação da i-ésima linha e da j-ésima coluna.

Tem-se então que

ou

ou

conforme seja escolhida a i-ésima linha ou a j-ésima coluna.

Aplicação[editar | editar código-fonte]

O teorema de Laplace é normalmente utilizado para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem superior ou igual a 4. Apesar de também se poder aplicar a matrizes de ordem inferior, neste caso o cálculo do determinante é usualmente mais simples utilizando-se a regra de Sarrus.

Na prática, o que se faz é passar do cálculo do determinante duma matriz de ordem n para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem n-1. O teorema pode ser aplicado sucessivamente até se obterem matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é mais simples de calcular.

Pode selecionar-se indiferentemente qualquer linha ou coluna da matriz para aplicar o teorema, pois todas conduzem ao mesmo resultado. No entanto, para simplificar os cálculos, é usual escolher-se a linha ou coluna que apresente mais zeros.

Na verdade, visto que o método consiste em multiplicar cada elemento da linha pelo seu cofator, no caso de o elemento ser 0, o produto é nulo, não havendo pois necessidade de calcular o cofator do dito elemento para achar o produto.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere-se a matriz

O determinante desta matriz pode ser calculado aplicando o teorema de Laplace à 1ª linha:

O mesmo resultado pode ser obtido aplicando o teorema à 2ª coluna:

Referências

  1. Gabriel Alessandro de Oliveira. «Teorema de Laplace». R7. Brasil Escola. Consultado em 01 de junho de 2013. 

Bibliografia[editar | editar código-fonte]