Teorema de Laplace

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Em álgebra linear, o teorema de Laplace é uma expressão para o determinante de uma matriz quadrada qualquer.[1]

Enunciado do teorema[editar | editar código-fonte]

O determinante de uma matriz é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) pelos respectivos cofatores (ou complementos algébricos).

O cofator do elemento duma matriz é o escalar definido por

em que representa a matriz que se obtém da matriz original pela eliminação da i-ésima linha e da j-ésima coluna.

Tem-se então que

ou

ou

conforme seja escolhida a i-ésima linha ou a j-ésima coluna.

Aplicação[editar | editar código-fonte]

O teorema de Laplace é normalmente utilizado para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem superior ou igual a 4. Apesar de também se poder aplicar a matrizes de ordem inferior, neste caso o cálculo do determinante é usualmente mais simples utilizando-se a regra de Sarrus.

Na prática, o que se faz é passar do cálculo do determinante duma matriz de ordem n para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem n-1. O teorema pode ser aplicado sucessivamente até se obterem matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é mais simples de calcular.

Pode selecionar-se indiferentemente qualquer linha ou coluna da matriz para aplicar o teorema, pois todas conduzem ao mesmo resultado. No entanto, para simplificar os cálculos, é usual escolher-se a linha ou coluna que apresente mais zeros.

Na verdade, visto que o método consiste em multiplicar cada elemento da linha pelo seu cofator, no caso de o elemento ser 0, o produto é nulo, não havendo pois necessidade de calcular o cofator do dito elemento para achar o produto.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere-se a matriz

O determinante desta matriz pode ser calculado aplicando o teorema de Laplace à 1ª linha:

O mesmo resultado pode ser obtido aplicando o teorema à 2ª coluna:

Demonstração do Teorema [2].[editar | editar código-fonte]

Vamos usar o princípio da indução finita.

1ª parte

Provemos que o teorema é válido para matrizes de ordem 2

Desenvolvendo pela 2ª coluna:

Desenvolvendo pela 1ª linha:

Desenvolvendo pela 2ª linha:

Portanto, a propriedade é válida para

2ª Parte

Admitamos que a propriedade seja válida para determinantes de ordem e provemos que ela também é válida para determinantes de ordem .

Seja uma matriz de ordem . Os menores complementares dos elementos de serão determinantes de ordem . Vamos usar o símbolo para designar o determinante da matriz que se obtém, suprimindo as linhas i e k e as colunas j e l da matriz . É claro que é um determinante de ordem .

Fixemos a coluna k da matriz e calculemos o número

Temos

Os determinantes são de ordem . Desenvolvendo-os pela 1ª coluna, temos:

Na expressão de C, acima,

1º) tomemos as parcelas que contém . Temos

(por hipótese de indução )

2º) tomemos as parcelas que contém . Temos

(por hipótese de indução )

3º) tomemos as parcelas que contém . Temos

(por hipótese de indução )

Prosseguindo da mesma forma até obtermos as parcelas que contêm , teremos:

isto é

O que prova que , isto é, a propriedade é válida para qualquer coluna k, .

Fixemos agora a 1ª linha de M, e calculemos o número

Temos

Os determinantes são de ordem . Desenvolvendo-os pela 1ª coluna, temos:

Na expressão de L, acima

1º) Tomemos as parcelas que contém . Temos:

(por hipótese de indução)

2º) Tomemos as parcelas que contém . Temos:

(por hipótese de indução)

Prosseguindo da mesma forma até obtermos as parcelas que contêm , teremos:

isto é

O que prova que , isto é, a propriedade é válida para a primeira linha.

Com raciocínio análogo ao que fizemos para as colunas, podemos provar que a propriedade é válida para a linha , usando o fato de que ela é válida para a 1ª linha.

Com isto, concluímos que o teorema é válido para matrizes de ordem .

Complexidade assintótica[editar | editar código-fonte]

O teorema de Laplace não é computacionalmente eficiente para calcular determinantes. Sua complexidade no tempo é de , não sendo indicado para situações práticas.[3][4]

Utilizando a triangularização de matrizes, é possível escrever um algoritmo capaz de calcular determinantes em tempo ,[5] que é mais eficiente. O algoritmo é similar ao método de Eliminação de Gauss.

Referências

  1. Gabriel Alessandro de Oliveira. «Teorema de Laplace». R7. Brasil Escola. Consultado em 1 de junho de 2013 
  2. IEZZI, Gelson (1977). Fundamentos de matemática elementar, 4: sequências, progressões, determinantes e sistemas lineares. São Paulo: Atual. ISBN 9788535717488 
  3. Felipe, Henrique (19 de agosto de 2017). «Complexidade Algorítmica do Teorema de Laplace no Cálculo de Determinantes». Blog Cyberini. Consultado em 9 de abril de 2018 
  4. Felipe, Henrique (18 de novembro de 2013). «Teorema de Laplace em Java». Blog Cyberini. Consultado em 9 de abril de 2018 
  5. Felipe, Henrique (8 de outubro de 2017). «Cálculo de Determinantes via Triangularização». Blog Cyberini. Consultado em 10 de abril de 2018 

Bibliografia[editar | editar código-fonte]